Cantor’s theory of cardinal numbers offers a way to generalize arithmetic from finite sets to infinite sets using the notion of one-to-one association between two sets. As is well known, all countable infinite sets have the same ‘size’ in this account, namely that of the cardinality of the natural numbers. However, throughout the history of reflections on infinity another powerful intuition has played a major role: if a collectionAis properly included in a collectionBthen the ‘size’ ofAshould be less than the (...) ‘size’ ofB(part–whole principle). This second intuition was not developed mathematically in a satisfactory way until quite recently. In this article I begin by reviewing the contributions of some thinkers who argued in favor of the assignment of different sizes to infinite collections of natural numbers (Thabit ibn Qurra, Grosseteste, Maignan, Bolzano). Then, I review some recent mathematical developments that generalize the part–whole principle to infinite sets in a coherent fashion (Katz, Benci, Di Nasso, Forti). Finally, I show how these new developments are important for a proper evaluation of a number of positions in philosophy of mathematics which argue either for the inevitability of the Cantorian notion of infinite number (Gödel) or for the rational nature of the Cantorian generalization as opposed to that, based on the part–whole principle, envisaged by Bolzano (Kitcher). (shrink)

Das Aufkommen der "klassischen Mechanik" wird als paradigmatisch für die Entstehung des neuzeitlichen wissenschaftlichen Denkens angesehen. Geht man nun dem Beginn dieser Entwicklung nach, so stößt man sehr bald auf den Begriff der Selbsterhaltung. Das Postulat der Selbsterhaltung erweist sich als zentrale Kategorie bei der Herausbildung einer "externen" Naturvorstellung, nach der ein sich bewegender Körper keiner zusätzlichen Kraft bedarf, um die betreffende Bewegung aufrechtzuerhalten . Sie erhält sich von selbst. Das Prinzip der Selbsterhaltung taucht in dieser Epoche auch in verschiedenen (...) anderen Disziplinen auf, beispielsweise der Staatsphilosphie und der Ethik . Ein paralleles Phänomen während dieser Zeit ist eine beginnende Emanzipation des Individuums. Der allmähliche Ausbau einer Autonomie im Denken und Fühlen findet seinen Ausdruck in einem neuen Vernunftsbegriff, der nicht mehr in Abhängigkeit von theologischen Postulaten steht. Die Autonomie des Individuums wird weitgehend als Selbsterhaltung der Vernunft verstanden. Es liegt nahe einen Zusammenhang zu vermuten zwischen der neuzeitlichen Naturerfassung auf der Grundlage des Selbsterhaltungsbegriffes und der "Entdeckung" einer individuellen, sich selbst konstituierenden Vernunft. (shrink)