In this paper, we study the extraction of roots as presented by Al-Kashi in his 1427 book “Key to Arithmetic” and Stevin in his 1585 book “Arithmetic”. In analyzing their methods, we note that Stevin’s technique contains some flaws that we amend to present a coherent algorithm. We then show that the underlying algorithm for the methods of both Al-Kashi and Stevin is the same.

In a famous passage from his al-Bāhir, al-Samaw’al proves the identity which we would now write as (ab)n=anbn\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$(ab)^n=a^n b^n$$\end{document} for the cases n=3,4\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$n=3,4$$\end{document}. He also calculates the equivalent of the expansion of the binomial (a+b)n\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$(a+b)^n$$\end{document} for the same values of n and describes the construction of what we now call the Pascal Triangle, showing (...) the table up to its 12th row. We give a literal translation of the whole passage, along with paraphrases in more modern or symbolic form. We discuss the influence of the Euclidean tradition on al-Samaw’al’s presentation, and the role that diagrams might have played in helping al-Samaw’al’s readers follow his arguments, including his supposed use of an early form of mathematical induction. (shrink)

Les documents chinois, depuis le Iersiècle, indiens, depuis le Vesiècle, et arabes, depuis le IXesiècle, contiennent des procédures tabulaires similaires pour l'extraction de racines carrées et cubiques avec des systèmes de numération positionnels. Par ailleurs tant Jia Xian, astronome chinois du XIesiècle, qu'al-Samaw'al, mathématicien arabe du XIIesiècle, ont extrait des racines de degré plus élevé par la procédure dite de Ruffini-Horner. L'article tente de définir une méthode textuelle pour organiser ce corpus, en y distinguant des axes pertinents qui permettent de (...) dégager similarités et différences, d'un point de vue tant historique que conceptuel. Une première partie analyse trois états différents des descriptions d'algorithmes entre le Iersiècle et le XIesiècle en Chine, qui présentent chacun une stabilité historique certaine. La réécriture qui fait passer d'un état au suivant laisse émerger progressivement une uniformité dans les composantes de l'algorithme, laquelle culmine avec des procédures du type Ruffini-Horner. Des critères textuels font apparaître une affinité plus grande de certains algorithmes, tels ceux décrits par Kūshyār ibn Labbān (ca1000), avec les textes chinois qu'avec les textes indiens, plus proches, eux, des algorithmes décrits par al-Khwārizmī. Des critères de même nature lient, d'une part, les algorithmes de Jia Xian et d'al-Samaw'al, d'autre part les algorithmes de Kūshyār et d'al-Samaw'al. (shrink)