ZusammenfassungIn einem typenfreien formalen System, das widerspruchsfrei ist und alle Begriffe der klassischen Mathematik darzustellen vermag, können nicht alle Gesetze der klassischen Aussagenlogik gelten. Es entsteht daher das Problem, die aussagenlogischen Eigenschaften formaler Systeme allgemein zu untersuchen. Unter gewissen Voraussetzungen in aussagenlogischer Hinsicht wird die « aussagenlogische Vollständigkeit » und die « aussagenlogische Widerspruchsfreiheit » eines formalen Systems durch das Tertium non datur beziehungsweise durch die Schlussregel des Ex falso quodlibet charakterisiert. Es werden Entscheidungsverfahren für diejenigen syntaktischen Schlussregeln entwickelt, die (...) unter den vorliegenden aussagenlogischen Voraus‐setzungen in jedem formalen System beziehungsweise in jedem aussagen‐logisch vollständigen formalen System beziehungsweise in jedem aussagen‐logisch widerspruchsfreien formalen System gelten.RésuméDans un système formel sans types sans contradictions et qui pent représenter toutes les notions des mathkmatiques classiques, toutes les lois de la logiqrie propositionelle classique ne peuvent pas êvalables. C'est de là que s'ensuit le problème de discuter généralement les propriétés des systèmes formels en ce qu'elles concernent la logique des propositions. Sous certaines suppositions à I'Cgard des expressions propositionelles le « complet propositionel » et la « non‐contradiction propositionelle » se caractérisent par le tertium non datur ou plutôt par la rkgle d'inférence du ex falso quodlibet. On développe des méthodes de décision pour ces règles d'inférence syntactiques qui sont valables dans chaque système formel sous les suppositions données et pour ces régles d'inférence qui sont valables dans chaque système complet ou consistarit au point de vue de la logiqire des propositions.In a formal system without types which contains no contradictions and is able to represent all notions of classical mathematics, all the laws of classical propositional calculus cannot be valid. From this fact ensues the problem generally to explore the properties of formal systems from the point of view of the propositional calculus. Under certain assumptions conrerninq the propositional expressions the « propositional completeness » and the « propositional consistency » of a formal system is characterized through the tertium Ron datur, respectively through the inference rule of the ex falso quodlibet. There are decision procedures for the syntactical inference rules which in every formal system are valid under the given assumptions and for the syntactical inference rules of every formal system which is complete or consistent with respect to the propositional calculus. (shrink)

An ω-model (a model in which all natural numbers are standard) of the predicative fragment of Quine's set theory "New Foundations" (NF) is constructed. Marcel Crabbe has shown that a theory NFI extending predicative NF is consistent, and the model constructed is actually a model of NFI as well. The construction follows the construction of ω-models of NFU (NF with urelements) by R. B. Jensen, and, like the construction of Jensen for NFU, it can be used to construct α-models for (...) any ordinal α. The construction proceeds via a model of a type theory of a peculiar kind; we first discuss such "tangled type theories" in general, exhibiting a "tangled type theory" (and also an extension of Zermelo set theory with Δ 0 comprehension) which is equiconsistent with NF (for which the consistency problem seems no easier than the corresponding problem for NF (still open)), and pointing out that "tangled type theory with urelements" has a quite natural interpretation, which seems to provide an explanation for the more natural behaviour of NFU relative to the other set theories of this kind, and can be seen anachronistically as underlying Jensen's consistency proof for NFU. (shrink)