Abstract

ریاضیدانان هرروز با مجموعههای ناشمارا، مجموعهی توانی، خوشترتیبی، تناهی و ... سروکار دارند و با این تصور که این مفاهیم همان چیزهایی هستند که در ذهن دارند، کتابها و اثباتهای ریاضی را میخوانند و میفهمند و درمورد آنها صحبت میکنند. اما آیا این مفاهیم همان چیزهایی هستند که ریاضیدانان تصور میکنند؟ اولینبار اسکولم با بیان یک پارادوکس شک خود را به این موضوع ابراز کرد. بنابر قضیهی لوونهایم اسکولم رو به پایین، نظریه مجموعهها مدلی شمارا دارد. این مدل قضیهی کانتور را که بیان میکند مجموعهای ناشمارا وجود دارد برآورده میکند؛ ولی مدل شمارا دارای دامنهای شامل شمارا عضو است. پس برای بیان وجود مجموعهای ناشمارا مانند ℝ تنها شمارا عضو داریم. این جمالت به پارادوکس اسکولم مشهور شدند. بنابرین مجموعهی ناشمارایمان در واقع شمارا بهنظر میرسد. از زمانی که پارادوکس فهمیده شد تا به امروز بحث های زیادی در رد و تایید آن بوده است. گروهی تا آنجا پیش رفتند که ادعا کردند همهی مجموعهها شمارا هستند. در این پایان نامه پرسش های مقابل بررسی شدهاند: آیا مجموعههای ناشمارا واقعا وجود دارند؟ آیا پارادوکس اسکولم نشان میدهد که نظریههای مرتبه دوم برای مدل کردن کاربرد ریاضیات مناسبتر هستند؟ پارادوکس اسکولم درمورد درک ما از نظریه مجموعهها و سمانتیک آن چه نتیجهای دارد؟ خواهیم دید بهتر است درمورد وجود مجموعههای ناشمارا، موضع الادری را برگزینیم، پارادوکس اسکولم نتیجه نمیدهد نظریههای مرتبه دوم برای مدل کردن کاربرد ریاضیات مناسب هستند و درمورد درک ما از نظریه مجموعهها نتیجهای نخواهد داشت