Introduction. The system of axioms for set theory to be exhibited in this paper is a modification of the axiom system due to von Neumann. In particular it adopts the principal idea of von Neumann, that the elimination of the undefined notion of a property (“definite Eigenschaft”), which occurs in the original axiom system of Zermelo, can be accomplished in such a way as to make the resulting axiom system elementary, in the sense of being formalizable in the logical calculus (...) of first order, which contains no other bound variables than individual variables and no accessory rule of inference (as, for instance, a scheme of complete induction).The purpose of modifying the von Neumann system is to remain nearer to the structure of the original Zermelo system and to utilize at the same time some of the set-theoretic concepts of the Schröder logic and of Principia mathematica which have become familiar to logicians. As will be seen, a considerable simplification results from this arrangement.The theory is not set up as a pure formalism, but rather in the usual manner of elementary axiom theory, where we have to deal with propositions which are understood to have a meaning, and where the reference to the domain of facts to be axiomatized is suggested by the names for the kinds of individuals and for the fundamental predicates.On the other hand, from the formulation of the axioms and the methods used in making inferences from them, it will be obvious that the theory can be formalized by means of the logical calculus of first order (“Prädikatenkalkul” or “engere Funktionenkalkül”) with the addition of the formalism of equality and the ι-symbol for “descriptions” (in the sense of Whitehead and Russell). (shrink)

Einleitung. Das “Auswahlaxiom” oder “multiplicative axiom” fordert in der gewöhnlichen, von B. Russell und Zermelo angegebenen Fassung, daß zu jeder Menge M, deren Elemente paarweise fremde und nicht-leere Mengen sind, mindestens eine “Auswahlmenge” existiere, die mit jedem Element von M genau éin Element gemeinsam hat. Die nächstliegende und mehrfach verwendete Methode, um ein schwächeres Postulat als die vorstehende Fassung zu formulieren, besteht darin, daß man entweder über die Mächtigkeit der Menge M, oder über die Mächtigkeiten ihrer Elemente, oder über beides (...) gleichzeitig, einschränkende Bedingungen macht, also nur in diesen eingeschränkten Fällen die Existenz einer Auswahlmenge verlangt. Hinsichtlich der Mächtigkeit von M ist da sogleich die Bemerkung zu machen, daß sie jedenfalls transfinit (genauer: nicht endlich im induktiven Sinn) anzusetzen ist. Vermöge allgemeiner logischer Sachverhalte und des (eventuell zu beweisenden) Prinzips, das zu einem gegebenen Objekt a die Bildung der Menge {a} erlaubt, ist nämlich die Existenz einer Auswahlmenge von M beweisbar, falls M die Mächtigkeit 1 besitzt, und diese Beweisbarkeit überträgt sich mittels gewöhnlicher Induktion auf den Fall einer beliebigen endlichen Mächtigkeit. Dagegen ist die Existenz einer Auswahlmenge nicht mehr beweisbar, wenn (bei transfinitem M) die Elemente von M endliche Mengen mit Mächtigkeiten > 1 sind, z. B. also schon in dem Fall, wo M eine transfinite Menge von Paaren ist—natürlich “im allgemeinen,” d. h. wenn die Elemente von M nicht eine besondere Beschaffenheit haben, die die Auszeichnung gewisser Elemente in ihnen ermöglicht. Die Tatsache dieser Nichtbeweisbarkeit, d. h. der Unabhängigkeit des Auswahlaxioms sogar in diesem einfachsten Fall, ist vor längerer Zeit auf der Basis des Zermeloschen Axiomensystems der Mengenlehre nachgewiesen worden. (shrink)