Dans cet article, je compare les vues de Lautman et Herbrand sur la théorie des nombres et la philosophie de l’arithmétique. Je montre que, bien que Lautman eût avoué avoir été marqué par l’influence de Herbrand, les postures fondationnelles des deux amis divergent considérablement. Alors que Lautman versait dans un réalisme platonicien, Herbrand est resté fidèle au finitisme hilbertien. Il est vrai que Lautman était philosophe et que Herbrand était avant tout arithméticien et logicien, mais il demeure que l’oeuvre de (...) Herbrand a une portée philosophique mieux accordée à la logique et aux mathématiques contemporaines.In this paper, I am contrasting Lautman’s and Herbrand’s views on number theory and philosophy of arithmetic. It is argued that despite the fact that Lautman had acknowledged Herbrand’s major influence on his own work, their foundational stances diverge profoundly. Lautman defended a variety of Platonism and Herbrand advocated a personal version of Hilbertian finitism. Of course, Lautman was a philosopher while Herbrand dealt mainly with number theory and logic. It remains though that Herbrand’s work is more in tune with contemporary logic and mathematics from a philosophical perspective. (shrink)

Le développement et la complexité, qui ont caractérisé les débats sur la structure conceptuelle des sciences au xxe siècle, ont déterminé la naissance d'une nouvelle discipline, l'histoire de l'épistémologie, avec l'objectif de tracer une histoire critique de notre « patrimoine épistémologique » avec des méthodologies plus appropriées de nature historique et théorique. Une histoire critique de la philosophie des sciences nous montre beaucoup de « Wenden » au-delà de celles plus bien connues, néopositiviste et post-néopositiviste ; en Italie et en (...) France, dans les dix premières années du xxe siècle, a pris naissance une tradition de recherche épistémologique de nature néorationaliste, avec des noyaux théoriques spécifiques pour l'importance accordée à l'historicité de la science. L'épistémologie néorationaliste italo-française a privilégié l'analyse des rapports entre la pensée mathématique et la pensée physique, telle que l'on peut la caractériser comme une véritable épistémologie de la physique mathématique; de plus, cette approche différente, dessinée d'abord par Federigo Enriques et ensuite par Gaston Bachelard, Albert Lautman et Ferdinand Gonseth, a permis de comprendre déjà dès les années trente la « philosophie implicite » dans les travaux de Kurt Godel et d'Hermann Weyl. (shrink)

According to Kant, the axioms of intuition, i.e. space and time, must provide an organization of the sensory experience. However, this first orderliness of empirical sensations seems to depend on a kind of faculty pertaining to subjectivity, rather than to the encounter of these same intuitions with the real properties of phenomena. Starting from an analysis of some very significant developments in mathematical and theoretical physics in the last decades, in which intuition played an important role, we argue that nevertheless (...) intuition comes into play in a fundamentally different way to that which Kant had foreseen: in the form of a formal or “categorical” yet not sensible intuition. We show further that the statement that our space is mathematically three-dimensional and locally Euclidean by no means follows from a supposed a priori nature of the sensible or subjective space as Kant claimed. In fact, the three-dimensional space can bear many different geometrical and topological structures, as particularly the mathematical results of Milnor, Smale, Thurston and Donaldson demonstrated. On the other hand, it has been stressed that even the phenomenological or perceptual space, and especially the visual system, carries a very rich geometrical organization whose structure is essentially non-Euclidean. Finally, we argue that in order to grasp the meaning of abstract geometric objects, as n-dimensional spaces, connections on a manifold, fiber spaces, module spaces, knotted spaces and so forth, where sensible intuition is essentially lacking and where therefore another type of mathematical idealization intervenes, we need to develop a new form of intuition. (shrink)

L’article montre d’abord jusqu’où convergent la dialectique hégélienne de l’Idée et la dialectique lautmanienne des Idées, et ce sur quoi elles se séparent en profondeur : sur la négativité et le statut de la contradiction. Il s’intéresse ensuite à certaines formalisations qui ont été proposées de ces deux dialectiques : celle de Doz et Dubarle pour Hegel dans une extension de la logique booléenne, et celle, récemment esquissée par F. Zalamea en théorie des catégories, pour Lautman. Est montré dans ses (...) grandes lignes comment la traductibilité mutuelle, au niveau technique, peut être établie entre les deux entreprises, la conséquence étant que la divergence spéculative semble rétroactivement gommée, que le négatif semble avoir disparu. À partir de ce paradoxe sont présentées quelques pistes de réflexion sur les enjeux de la démarche de formalisation, entendue comme entreprise de réduction du fossé existant entre le conceptuel et le formel, et de ce qu’elle révèle des rapports entre mathématiques et philosophie.The paper begins by showing what is common to Hegel’s dialectic of the Idea and Lautman’s dialectic of Ideas, and where they diverge deeply : on negativity and the status of contradiction. It then focuses on two different attempts to formalize these dialectics : Doz and Dubarle’s attempt to formalize the Hegelian one in an extension of Boolean logic ; and, more recently, Zalamea’s formalization of the Lautmanian one through category theory. The paper then sketches how, at a technical level, these two attempts can be translated one into the other — which indicates, in turn, that the speculative divergence seems to have disappeared, that the negative has been erased. With reference to this paradox the paper provides the reader with some reflections dealing with the stakes of the formalizing process, seen as way of reducing the gap existing between the conceptual and the definite, and of what it reveals of the relations between mathematics and philosophy. (shrink)