ZusammenfassungP. Bernays hat darauf hingewiesen, dass man, um die Widerspruchs freiheit der klassischen Zahlentheorie zu beweisen, den Hilbertschen flniter Standpunkt dadurch erweitern muss, dass man neben den auf Symbole sich beziehenden kombinatorischen Begriffen gewisse abstrakte Begriffe zulässt, Die abstrakten Begriffe, die bisher für diesen Zweck verwendet wurden, sinc die der konstruktiven Ordinalzahltheorie und die der intuitionistischer. Logik. Es wird gezeigt, dass man statt deesen den Begriff einer berechenbaren Funktion endlichen einfachen Typs über den natürlichen Zahler benutzen kann, wobei keine anderen (...) Konstruktionsverfahren für solche Funktionen nötig sind, als einfache Rekursion nach einer Zahlvariablen und Einsetzung von Funktionen ineinander .P. Bernays has pointed out that, in order to prove the consistency of classical number theory, it is necessary to extend Hilbert's finitary stand‐point by admitting certain abstract concepts in addition to the combinatorial concepts referring to symbols. The abstract concepts that so far have been used for this purpose are those of the constructive theory of ordinals and those of intuitionistic logic. It is shown that the concept of a computable function of finite simple type over the integers can be used instead, where no other procedures of constructing such functions are necessary except simple recursion by an integral variable and substitution of functions in each other. (shrink)

A hierarchy (J D g ) D Dilator of ordinal functionsJ D g : On→On is introduced and studied. It is a hierarchy of iterations relative to some giveng:OnarOn, defined by primitive recursion on dilators. This hierarchy is related to a Bachmann hierarchy $\left( {\phi _\alpha ^g } \right)_{\alpha< \varepsilon _{\Omega {\mathbf{ }} + {\mathbf{ }}1} }$ , which is built on an iteration ofg ↑ Ω as initial function.This Bachmann hierarchy $\left( {\phi _\alpha ^g } \right)_{\alpha< \varepsilon _{\Omega {\mathbf{ (...) }} + {\mathbf{ }}1} }$ itself is shown to be explicitly definable by $$\phi _\alpha ^g (\eta ) = g^{\Omega ^\alpha \cdot (1 + \eta )} (0)$$ from a hierarchy of iterationsg α :Ω→Ω for weakly monotonicg: Ω→Ω withg(0)>0. Forg=λη. (1+η) ·ω org=λη. 1, in particular, one obtains as $\left( {\phi _\alpha ^g } \right)_{\alpha< \varepsilon _{\Omega {\mathbf{ }} + {\mathbf{ }}1} }$ Bachmann hierarchy.With every ordinalα≦ε Ω+1 a dilatorD α is associated.D α is “below” the dilator $$\left( {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{2} + Id} \right)_{(\omega )}$$ , which is defined as $$\mathop {\sup }\limits_{n< \omega } (\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{2} + Id)_{(n)}$$ with (¯2+Id)(0):=1 and $$(\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{2} + Id)_{(n + 1)} : = (\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{2} + Id)^{(2 + Id)_{(n)} }$$ . For weakly monotonicg:OnarOn satisfyingg(0)>0 and $g(\Omega ) \subseteqq \Omega$ , and forη<Ω andα<ε Ω+1 it is proved that. (shrink)