ریاضیدانان هرروز با مجموعههای ناشمارا، مجموعهی توانی، خوشترتیبی، تناهی و ... سروکار دارند و با این تصور که این مفاهیم همان چیزهایی هستند که در ذهن دارند، کتابها و اثباتهای ریاضی را میخوانند و میفهمند و درمورد آنها صحبت میکنند. اما آیا این مفاهیم همان چیزهایی هستند که ریاضیدانان تصور میکنند؟ اولینبار اسکولم با بیان یک پارادوکس شک خود را به این موضوع ابراز کرد. بنابر قضیهی لوونهایم اسکولم رو به پایین، نظریه مجموعهها مدلی شمارا دارد. این مدل قضیهی کانتور (...) را که بیان میکند مجموعهای ناشمارا وجود دارد برآورده میکند؛ ولی مدل شمارا دارای دامنهای شامل شمارا عضو است. پس برای بیان وجود مجموعهای ناشمارا مانند ℝ تنها شمارا عضو داریم. این جمالت به پارادوکس اسکولم مشهور شدند. بنابرین مجموعهی ناشمارایمان در واقع شمارا بهنظر میرسد. از زمانی که پارادوکس فهمیده شد تا به امروز بحث های زیادی در رد و تایید آن بوده است. گروهی تا آنجا پیش رفتند که ادعا کردند همهی مجموعهها شمارا هستند. در این پایان نامه پرسش های مقابل بررسی شدهاند: آیا مجموعههای ناشمارا واقعا وجود دارند؟ آیا پارادوکس اسکولم نشان میدهد که نظریههای مرتبه دوم برای مدل کردن کاربرد ریاضیات مناسبتر هستند؟ پارادوکس اسکولم درمورد درک ما از نظریه مجموعهها و سمانتیک آن چه نتیجهای دارد؟ خواهیم دید بهتر است درمورد وجود مجموعههای ناشمارا، موضع الادری را برگزینیم، پارادوکس اسکولم نتیجه نمیدهد نظریههای مرتبه دوم برای مدل کردن کاربرد ریاضیات مناسب هستند و درمورد درک ما از نظریه مجموعهها نتیجهای نخواهد داشت. (shrink)

I discuss Skolem's own ideas on his ‘paradox’, some classical disputes between Skolemites and Antiskolemites, and the underlying notion of ‘informal mathematics’, from a point of view which I hope to be rather unusual. I argue that the Skolemite cannot maintain that from an absolute point of view everything is in fact denumerable; on the other hand, the Antiskolemite is left with the onus of explaining the notion of informal mathematical knowledge of the intended model of set theory. 1 conclude (...) that one must take seriously the embodiment of the uncountable into countable languages, as a symptom of some specific features which characterize mathematical languages with respect to other languages. (shrink)

Over the years, Skolem’s Paradox has generated a fairly steady stream of philosophical discussion; nonetheless, the overwhelming consensus among philosophers and logicians is that the paradox doesn’t constitute a mathematical problem (i.e., it doesn’t constitute a real contradiction). Further, there’s general agreement as to why the paradox doesn’t constitute a mathematical problem. By looking at the way firstorder structures interpret quantifiers—and, in particular, by looking at how this interpretation changes as we move from structure to structure—we can give a technically (...) adequate “solution” to Skolem’s Paradox. So, whatever the philosophical upshot of Skolem’s Paradox may be, the mathematical side of Skolem’s Paradox seems to be relatively straightforward. (shrink)

In this paper I discuss Ernst Zermelo’s ideas concerning the possibility of developing a system of infinitary logic that, in his opinion, should be suitable for mathematical inferences. The presentation of Zermelo’s ideas is accompanied with some remarks concerning the development of infinitary logic. I also stress the fact that the second axiomatization of set theory provided by Zermelo in 1930 involved the use of extremal axioms of a very specific sort.1.

In this article my primary intention is to engage in a discussion on the inherent constraints of models, taken as models of theories, that reaches beyond the epistemological level. Naturally the paper takes into account the ongoing debate between proponents of the syntactic and the semantic view of theories and that between proponents of the various versions of scientific realism, reaching down to the most fundamental, subjective level of discourse. In this approach, while allowing for a limited discussion of physical (...) and positive science models, I am primarily focused on the structure and ontology of mathematical models, in particular Cohen’s forcing models and to a lesser extent Gödel’s constructible universe, to the extent that these were designed to answer questions bearing on the scope, the capacity and ultimately the ontology of models themselves, therefore influencing in one or the other way the status of models in general. This status, it is argued, is largely defined by the way models subsume a set-theoretical structure whose constraints, reducible to an extra-linguistic level of discourse, may implicitly condition the epistemic status of models as representations of axiomatic theories. In the last section I deal extensively with the inner constraints of theories as subjectively originated in a less technical philosophically oriented discussion with certain prompts from phenomenology. (shrink)