Introduction. This paper is a sequel to our paper [3]. In that paper we introduced the notion of a finite approximation to an infinitely long formula, in a language L with infinitely long expressions of the type considered by Henkin in [2]. The results of the paper [3] show relationships between the models of an infinitely long sentence and the models of its finite approximations. In the present paper we shall apply the main result of [3] to prove a number (...) of theorems about ordinary finitely long sentences; these theorems are of a type which one might call “preservation theorems”. The following two known results are typical preservation theorems: A sentence φ is preserved under substructures if and only if φ is equivalent to some universal sentence ; φ is preserved under homomorphic images if and only if φ is equivalent to some positive sentence. An expository account of preservation theorems may be found in Lyndon [9].We shall use freely all of the notation introduced in [3], and shall not attempt to make this paper selfcontained. However, the reader should have no difficulty following this paper after he has read [3]. In § 1 we cover some preliminary topics. In § 2 and § 3 we shall illustrate our method in familiar situations by proving anew the two preservation theorems mentioned above. We shall then obtain four new preservation theorems in §§ 4, 5, and 6, involving respectively direct powers and roots, strong homomorphisms and retracts, and direct factors. The result in § 6 was stated in the abstract [4], while the results in § 5 were stated in the abstract [5]. (shrink)

ZusammenfassungDas Axiomensystem der ebenen projektiven Geometrie ist dual in dem Sinne, dass es bei Vertauschung der Begriffe « Punkt » und « Gerade » in sich übergeht. Daraus folgt, dass mit jedem Satz auch der duale Satz aus den Axiomen beweisbar ist. Dagegen kann aus der Dualität des Axiomensystems nicht geschlossen werden, dass in einem Modell mit jedem Satz auch der duale Satz gilt; noch weniger folgt, dass ein Modell eine eineindeutige Abbildung zulässt, welche Punkte and Geraden unter Erhaltung der (...) Inzidenz vertauscht. Im Falle der projektiven Geometrie sind solche Modelle bekannt; für die einfache Typentheorie wird gezeigt, dassa die Existenz solcher Modelle äquivalent ist mit der Widerspruchsfreiheit des Systems « New Foundations ».Zusatz. Der folgende Satz beantwortet die beiden in der Arbeit aufgeworfenen Fragen: Eine vollständige Theorie mit einem Automorphismus hat ein Modell, welches einen entsprechenden Automorphismus zulässt. Insbesondere ist somit NF widerspruchsfrei, wenn die einfache Typentheorie mit den zusätzlichen Axiomen S ≡ S* widerspruchsfrei ist.RésuméLe système d'axiomes de la géométrie projective plane est dualistique dans le sens qu'il se transforme en lui‐même si I'on y échange les notions « points » et « droite ». Cette dualité entraîne un parallélisme des théorémes et de leurs démonstrations. Par contre, la dualité d'un système d'axiomes ne nous permet pas de conclure au parallélisme des énoncés qui soient vrais dans un modéle donné du systéme; moins encore peut‐on insérer I'existence d'une transformation biunivoque échangeant points et droites et conservant la relation d'incidence. Pour la géométric projective, de tels modèles sont bien connus; pour la théorie simple des types, I'existence d'un tel modèle est équivalent a la cohérence du système « New Foundations ».Remarque. Le théoréme suivant résout les deux problèmes proposés dans le travail: Toute théorie complète admettant un automorphisme possède un modèle admettant un automorphisme correspondant. NF est par conséquent cohérent si la théorie simple des types avec les axiomes supplémentaires S ≡ S * est cohérente.The axiom system of plane projective geometry is dual in the sense that it is transformed into itself by exchange of the notions « point » and « line.» It follows that for every theorem the dual sentence is also a theorem. However, from the duality of the axiom system one cannot conclude that in a model the truth of a sentence implies that of the dual sentence; even less can one conclude that each model admits a 1‐1‐transformation interchanging points and lines and preserving the incidence relation. For projective geometry, models of this kind are well known. For the simple theory of types it is shown that the existence of such models is equivalent to the consistency of « New Foundations. »Additional remark. The following theorem answers both of the questions proposed in the paper: If it is complete, then a theory with an automorphism has a model with a corresponding automorphism. NF is therefore consistent if simple theory of type with the additional axioms S ≡ S* is consistent. (shrink)