Brouwer and Weyl recognized that the intuitive continuum requires a mathematical analysis of a kind that set theory is not able to provide. As an alternative, Brouwer introduced choice sequences. We first describe the features of the intuitive continuum that prompted this development, focusing in particular on the flow of internal time as described in Husserl's phenomenology. Then we look at choice sequences and their logic. Finally, we investigate the differences between Brouwer and Weyl, and argue that Weyl's conception of (...) choice sequences is defective on several counts. (shrink)

Stephen Cole Kleene was one of the greatest logicians of the twentieth century and this book is the influential textbook he wrote to teach the subject to the next generation. It was first published in 1952, some twenty years after the publication of Godel's paper on the incompleteness of arithmetic, which marked, if not the beginning of modern logic. The 1930s was a time of creativity and ferment in the subject, when the notion of computable moved from the realm of (...) philosophical speculation to the realm of science. This was accomplished by the work of Kurt Gode1, Alan Turing, and Alonzo Church, who gave three apparently different precise definitions of computable. When they all turned out to be equivalent, there was a collective realization that this was indeed the right notion. Kleene played a key role in this process. One could say that he was there at the beginning of modern logic. He showed the equivalence of lambda calculus with Turing machines and with Godel's recursion equations, and developed the modern machinery of partial recursive functions. This textbook played an invaluable part in educating the logicians of the present. It played an important role in their own logical education.". (shrink)

This exploration of a notorious mathematical problem is the work of the man who discovered the solution. Written by an award-winning professor at Stanford University, it employs intuitive explanations as well as detailed mathematical proofs in a self-contained treatment. This unique text and reference is suitable for students and professionals. 1966 edition. Copyright renewed 1994.

Brouwer and Weyl recognized that the intuitive continuum requires a mathematical analysis of a kind that set theory is not able to provide. As an alternative, Brouwer introduced choice sequences. We first describe the features of the intuitive continuum that prompted this development, focusing in particular on the flow of internal time as described in Husserl's phenomenology. Then we look at choice sequences and their logic. Finally, we investigate the differences between Brouwer and Weyl, and argue that Weyl's conception of (...) choice sequences is defective on several counts. (shrink)

The Principle of Dependent Choice is shown to be equivalent to: the Baire Category Theorem for Čech-complete spaces (or for complete metric spaces); the existence theorem for generic sets of forcing conditions; and a proof-theoretic principle that abstracts the "Henkin method" of proving deductive completeness of logical systems. The Rasiowa-Sikorski Lemma is shown to be equivalent to the conjunction of the Ultrafilter Theorem and the Baire Category Theorem for compact Hausdorff spaces.

Darstellung des Noema in 12 Thesen.\nverwendete Textstellen: Ideen 1: S. 203, 22-23; S. 204, 20-21; S. 357, 19-20: Handlungen sind zielgerichtet. Dabei bedarf eines keines physischen Objekts. Husserl setzt and diese Stelle das Noema. Somit wird auch zielgerichtetes Handeln aufgrund einer Halluzination m{ö}glich, Zielgerichtet zu sein bedeutet ein Noema zu haben.\n1. Follesdal´sche These: Noema ist eine intensionale Entit{ä}t, eine Generalisierung des Begriffs Sinn/Bedeutung.\n2. These: Das Noema hat zwei Bestandteile, a) der noematische Sinn, der allen thetischen Handlungen (erinnern, sich vorstellen usw.) (...) gem{ä}{ß} desselben Objekts mit denselben Eigenschaften in derselben Gerichtetheit gemeinsam ist und b) die Gegebenheitsweise (hat auch Sinncharakter), die sich unterscheidet in Handlungen mit verschiedenem thetischen Charakter.\n3. These: Der noematische Sinn ergibt sich aus der Art und Weise, wie Bewu{ß}tsein zum Objekt in Relation steht.\n!! 4. These: Das Noema einer Handlung ist nicht das Objekt dieser Handlung\n5. These: Das Objekt einer Handlung ist eine Funktion des noematischen Sinns, d.h. mit einem bestimmten Noema kann nur ein Objekt korrespondieren.\n6. These: Jedoch k{ö}nnen mit einem bestimmten Objekt verschiedene Noemata korrespondieren. (z.B. kann ein Objekt das Ziel verschiedener thetischer Handlunge sein, etwa erinnern, wahrnehmen, daher:)\n6. These a): Mit einem bestimmten Objekt korrespondieren verschiedene noematische Sinne.\n7. These: Jede Handlung besteht aus nur einem Noema. Sie wird durch dieses Noema charakterisiert. (Umgekehrt trifft dies nicht zu.)\n8. These: Noemata sind abstrakte Entit{ä}ten. (Sinne sind nicht real. Sie sind bezogen auf Handlungen in tempor{ä}ren Intervallen.)\n9. These: Noemata werden nicht durch unsere Sinnesorgane wahrgenommen.\n10. These: Noemata gelangen durch ph{ä}nomenologische Reflektion ins Bewu{ß}tsein.\n11. These: Eine ph{ä}nomenologische Reflektion kann iterativ geschehen (ann{ä}herungsweise; in Schritte gegliedert). Dies ist so, weil schon die Korrespondenz zwischen Sinn und Objekt wieder ein Objekt ergibt. Es folgt ein unendlicher Regress.\nPhysische Objekte sind transzendent in dem Sinne, dass sie unendlich viele Noemata haben. Sinn kann sie nie ersch{ö}pfend erfassen.\nNoemata k{ö}nnen andererseits ein physisches Objekt repr{ä}sentieren in der Form, dass mehr intendiert wird als gesehen wird. So denkt man sich etwa bei einem Stuhl, von dem man nur zwei Beine sieht, die beiden {ü}brigen hinzu.\n12. These: Diese Muster der Vorherbestimmung bilden zusammen mit den Gegebenheitsweisen das Noema (s. These 2). (shrink)

Offering a collection of fifteen essays that deal with issues at the intersection of phenomenology, logic, and the philosophy of mathematics, this 2005 book is divided into three parts. Part I contains a general essay on Husserl's conception of science and logic, an essay of mathematics and transcendental phenomenology, and an essay on phenomenology and modern pure geometry. Part II is focused on Kurt Godel's interest in phenomenology. It explores Godel's ideas and also some work of Quine, Penelope Maddy and (...) Roger Penrose. Part III deals with elementary, constructive areas of mathematics. These are areas of mathematics that are closer to their origins in simple cognitive activities and in everyday experience. This part of the book contains essays on intuitionism, Hermann Weyl, the notion of constructive proof, Poincaré and Frege. (shrink)

Most areas of philosopher Edmund Husserl’s thought have been explored, but his views on logic, mathematics, and semantics have been largely ignored. These essays offer an alternative to discussions of the philosophy of contemporary mathematics. The book covers areas of disagreement between Husserl and Gottlob Frege, the father of analytical philosophy, and explores new perspectives seen in their work.

From the reviews: "A good textbook can improve a lecture course enormously, especially when the material of the lecture includes many technical details. Van Dalen's book, the success and popularity of which may be suspected from this steady interest in it, contains a thorough introduction to elementary classical logic in a relaxed way, suitable for mathematics students who just want to get to know logic. The presentation always points out the connections of logic to other parts of mathematics. The reader (...) immediately see the logic is "just another branch of mathematics" and not something more sacred." Acta Scientiarum Mathematicarum, Hungary. (shrink)

The concept of indiscernibility in a structure is analysed with the aim of emphasizing that in asserting that two objects are indiscernible, it is useful to consider these objects as members of (the domain of) a structure. A case for this usefulness is presented by examining the consequences of this view to the philosophical discussion on identity and indiscernibility in quantum theory.

Dieser Band enthält Husserls letzte grosse Arbeit, an der er von 1934 bis 1937 arbeitete. Husserl weist darin die Probleme auf, die seiner Ansicht nach zu der Krise geführt haben, in der die Menschheit der Gegenwart sich befindet. Er verfolgt den Ursprung dieser Krise zurück bis zur Entstehung der neuzeitlichen mathematischen Naturwissenschaften bei Galilei, um aufzuweisen, wie es zu der verhängnisvollen Spaltung des physikalistischen Objektivismus und des transzendentalen Subjektivismus gekommen ist. Die Geschichte der neuzeitlichen Philosophie wird von Descartes über Locke (...) - Berkeley - Hume bis zu Kant verfolgt. Husserl stellt dar, wie es das eigentliche Anliegen der Phänomenologie ist den verhängnisvollen Riss zu überwinden, indem sie den Rückgang zu dem Sinnesfundament vollzieht, das in den Wissenschaften selbst und für diese verborgen bleibt. In diesem Zusammenhang kommt gerade der Wissenschaft vom Menschen, der Psychologie, eine fundamentale Bedeutung zu, allerdings einer Psychologie, die auf der Phänomenologie gründet und von ihren Erkenntnissen ausgeht. Ausser dem erhaltenen Haupttext befinden sich im Husserl-Archiv noch zahlreiche "Forschungsmanuskripte", die im Zusammenhang mit der Krisis-Problematik entstanden sind. Um auch in sie Einblick zu geben wurde eine umfassende Auswahl in Form von Beilagen veröffentlicht, sowie noch einige selbständige Abhandlungen die die Entstehungsgeschichte des Werkes erhellen. (shrink)

an der Universität Göttingen gehaltenen Vcwlesung über Hauptstücke aus der Phänomenologie und Theorie der Erkenntnis,l ist annähernd voll­ ständig erhalten; die Blätter des V cwlesungsmanuskripts zur Phänomenologie des inneren Zeitbewußtseins liegen verstreut in den Konvoluten F I 6 und 2 F I 8 des Husserl-Archivs zu Löwen. Allerdings fußt der Erste Teil des Erstdrucks, dessen Bezeichnung als Die Vorlesungen über das innere Zeit­ bewußtsein aus dem Jahre 1905 gleichwohl auch in vcwliegender Neuausgabe beibehalten wurde, nur zum Teil noch, und auch (...) in diesem Teil mit be­ trächtlichen Abweichungen, auf dem Text des ursprünglichen Vcwlesungs­ manuskripts des Jahres I905; und umgekehrt hat nur ein Teil des Textes des ursprünglichen Vcwlesungs-Manuskripts - mit den erwähnten Abwand­ lungen - Eingang in den Ersten Teil des Erstdrucks gefunden. Wo der Text dieses Ersten Teils des Erstdrucks dem des ursprünglichen Vcwlesungs­ manuskripts entspricht, wurde er er mit diesem verglichen, und ollensicht­ liche Irrtümer im Erstdruck wurden berichtigt; in den Textkritischen Anmer­ kungen ist dann mit dem Vermerk nach dem Ms. verbessert die Text­ fassung des Erstdrucks wiedergegeben. Ferner wurde in den Textkritischen Anmerkungen vcwliegender Neuausgabe überall der ursprüngliche und voll­ ständige· Text des Vorlesungsmanuskripts von I905 wiedergegeben, auf dessen Zusammenhang die entsprechenden Teile des Erstdrucks zurückgehen, wo dieser von ienem abweicht. Einige zum V cwlesungsmanuskript gehörige Blätter, deren Text sich iedoch nicht zusammenhängend dem übrigen einfügt, wurden im vcwliegenden Band unter B (S. 135-382) mit abgedruckt. Die 1 Vgl. oben die "Einleitung des Herausgebers", S. XIV-XVII. (shrink)

Klarheit in betreff dieser Sätze anstrebt, d. i. Einsicht in das Wesen der bei dem Vollzug und den ideal-möglichen Anwendungen solcher Sätze ins Spiel tretenden Erkenntnisweisen und der mit diesen sich wesensmäßig konstituierenden Sinngebungen und objektiven Gel- 1 11 S tungen • Sprachliche Erörterungen gehören r nun sicherlich zu den 1 r philosophisch I unerläßlichen Vorbereitungen für den Aufbau der [A 4] reinen Logik, weil nur durch ihre Mithilfe die eigentlichen Objekte der logischen Forschung und, in weiterer Folge, die wesentlichen (...) Arten und Unterschiede dieser Objekte zu unmißverständlicher 10 Klarheit herauszuarbeiten sind. Es handelt sich dabei aber nicht um 12 grammatische Erörterungen im r empirischen, auf irgendeine historisch gegebene Sprache bezogenen Sinn, sondern um Erörterun gen jener allgemeinsten Art, die zur weiteren Sphäre einer objekti ven Theorie der Erkenntnis und, was damit innigst zusammen- 13 15 hängt, einer rreinen Phänomenologie der Denk- und Erkenntniserlebnisse gehören. rDicse, wie die sie umspannende reine Phänomenologie der Erlebnisse überhaupt, hat es ausschließlich mit den in der Intuition erlaßbaren und analysierba ren Erlebnissen in reiner Wesensallgemeinheit zu tun, nicht aber mit 20 empirisch apperzipierten Erlebnissen als realen Fakten, als Erlebnis sen erlebender Menschen oder Tiere in der erscheinenden und als Erfahrungsfaktum gesetzten Welt. Die in der Wesensintuition direkt erfaßten Wesen und rein in den Wesen gründenden Zusammenhän ge bringt sie deskriptiv in Wesensbegriffen und gesetzlichen 25 Wesensaussagen zu reinem Ausdruck. Jede solche Aussage ist eine 1 14 apriorische im vorzüglichsten Sinne des Wortes. (shrink)

Offering a collection of fifteen essays that deal with issues at the intersection of phenomenology, logic, and the philosophy of mathematics, this 2005 book is divided into three parts. Part I contains a general essay on Husserl's conception of science and logic, an essay of mathematics and transcendental phenomenology, and an essay on phenomenology and modern pure geometry. Part II is focused on Kurt Godel's interest in phenomenology. It explores Godel's ideas and also some work of Quine, Penelope Maddy and (...) Roger Penrose. Part III deals with elementary, constructive areas of mathematics. These are areas of mathematics that are closer to their origins in simple cognitive activities and in everyday experience. This part of the book contains essays on intuitionism, Hermann Weyl, the notion of constructive proof, Poincaré and Frege. (shrink)

There are two main objections against epistemological foundation of logical principles: 1. Every argument for them must necessarily make use of them. 2. Logical principles cannot be abstracted from experience because they imply elements of meaning that exceed in principle our finite experience (like universality & necessity). In opposition to these objections I argue for Husserl's thesis that logic needs a theory of experience as a foundation. To show the practicability of his attempt I argue that he is able to (...) avoid the two circles mentioned. Motivated by this investigation the Appendix presents some mathematical doubts concerning the proofs by Cantor of the transfiniteness of the set of real numbers. (shrink)

In this article I deal with the notion of observation, from a phenomenologically motivated point of view, and its representation mainly by means of the formal language of quantum mechanics. In doing so, I have taken the notion of observation in two diverse contexts. In one context as a notion related with objects of a logical-mathematical theory taken as registered facts of phenomenological perception ( Wahrnehmung ) inasmuch as this phenomenological idea can also be linked with a process of measurement (...) on the quantum-mechanical level. In another context I have taken it as connected with a notion of temporal constitution basically as it is described in E. Husserl’s texts on the phenomenology of temporal consciousness. Given that mathematical objects as formal-ontological objects can be thought of as abstractions of perceptual objects by means of categorial intuition, the question is whether and under what theoretical assumptions we can, in principle, include quantum objects in abstraction in the class of formal-ontological objects and thus inquire on the limits of their description within a formal-axiomatical theory. On the one hand, I derive an irreducibility on the level of individuals taken in formal representation as syntactical atoms-substrates without any further content and on the other hand a transcendental subjectivity of consciousness objectified as a self-constituted temporal unity upon which it is ultimately grounded the possibility of generation of an abstract predicative universe of discourse. (shrink)

We discuss the work of Paul Cohen in set theory and its influence, especially the background, discovery, development of forcing.