RESUMÉ – Situe historiquement au confluent de l’arithmétisation de l’analyse et de l’élaboration de la théorie des nombres transfinis, “De l’infini mathématique” s’attache à reconnaître à l’infini le statut de véritable objet mathématique ; mais le problème véritable, une fois mise en évidence l’insuffisance de la genèse arithmétique et algébrique des concepts et principes mathématiques, réside dans la possibilité de leur fondation philosophique sur des notions et principes rationnels et extramathématiques.

Une preuve est pure si, en gros, elle ne réfère dans son développement qu’à ce qui est « proche » de, ou « intrinsèque » à l’énoncé à prouver. L’infinité des nombres premiers, un théorème classique de l’arithmétique, est un cas d’étude particulièrement riche pour les recherches philosophiques sur la pureté. Deux preuves différentes de ce résultat sont ici considérées, à savoir la preuve euclidienne classique et une preuve « topologique » plus récente proposée par Furstenberg. D’un point de (...) vue naïf, il semblerait que la première soit pure et la seconde impure. Des objections à cette vue naïve sont ici considérées et réfutées. Concernant la preuve euclidienne, la question relève de la logique, notamment de la définissabilité arithmétique de l’addition en termes de successeur et de divisibilité telle que démontrée par Julia Robinson, tandis qu’en ce qui concerne la preuve topologique, la question relève de la sémantique, notamment pour tout ce qui touche au problème de savoir ce qui est « inclus » dans le contenu d’énoncés particuliers.A proof is pure, roughly, if it draws only on what is « close » or « intrinsic » to the statement being proved. The infinitude of prime numbers, a classical theorem of arithmetic, is a rich case study for philosophical investigation of purity. Two different proofs of this result are considered, namely the classical Euclidean proof and a more recent « topological » proof by Furstenberg. Naively the former would seem to be pure and the latter to be impure. Objections to these naive views are considered and met. In the case of the former the issue rests on logical matters, specifically the arithmetic definability of addition in terms of successor and divisibility shown by Julia Robinson, while in the case of the latter the issue rests on semantic matters, specifically with respect to what is « contained » in the content of particular statements. (shrink)

Horwich donne une belle analyse de Wittgenstein (W) et est un érudit W de premier plan, mais à mon avis, ils sont tous en deçà d’une pleine appréciation, comme je l’explique longuement dans cet examen et beaucoup d’autres. Si l’on ne comprend pas W (et de préférence Searle aussi) alors je ne vois pas comment on pourrait avoir plus qu’une compréhension superficielle de la philosophie et de la pensée de l’ordre supérieur et donc de tout comportement complexe (psychologie, sociologie, anthropologie, (...) histoire, littérature, société). En un mot, W a démontré que lorsque vous avez montré comment une phrase est utilisée dans le contexte d’intérêt, il n’y a rien de plus à dire. Je vais commencer par quelques citations notables, puis donner ce que je pense sont les considérations minimales nécessaires pour comprendre Wittgenstein, la philosophie et le comportement humain. Tout d’abord, on pourrait noter que mettre "meta" en face de n’importe quel mot devrait être suspect. W a fait remarquer par exemple, que la métamathématique est mathématiques comme les autres. L’idée que nous pouvons sortir de la philosophie (c’est-à-dire la psychologie descriptive de la pensée de haut ordre) est elle-même une profonde confusion. Une autre irritation ici (et tout au long de l’écriture académique pour les 4 dernières décennies) est le sexisme linguistique inverse constant de «elle» et «la sienne» et «elle» ou «il / elle», etc, où «ils» et «leur» et «eux» ferait bien. De même, l’utilisation du mot Français «répertoire» où le «répertoire» anglais se portera plutôt bien. La lacune majeure est l’échec complet (bien que très commun) d’employer ce que je considère comme la vue extrêmement puissante et intuitive de deux systèmes de HOT et Searle cadre que j’ai décrit ci-dessus. C’est particulièrement poignant dans le chapitre sur le sens p111 et seq. (en particulier dans les notes de bas de page 2-7), où nous nageons dans l’eau très boueuse sans le cadre de l’automatisé vrai seul S1, propositionnelle dispositionnelle S2, COS etc. On peut également avoir une meilleure vue de l’intérieur et de l’extérieur en lisant par exemple, Johnston ou Budd (voir mes commentaires). Horwich fait cependant beaucoup de commentaires incisifs. J’ai particulièrement aimé son résumé de l’importation de la position anti-théorique de W sur p65. Il doit mettre davantage l’accent sur 'On Certainty', récemment l’objet de beaucoup d’efforts de Daniele Moyal- Sharrock, Coliva et d’autres et résumé dans mes récents articles. Horwich est de premier ordre et son travail vaut bien l’effort. On espère qu’il (et tout le monde) étudiera Searle et une certaine psychologie moderne ainsi que Hutto, Read, Hutchinson, Stern, Moyal-Sharrock, Stroll, Hacker et Baker, etc. pour atteindre une large vision moderne du comportement. La plupart de leurs papiers sont sur academia dot edu et philpapers dot org, mais pour PMS Hacker voir http : info dot sjc dot ox dot ac dot uk/ scr / hacker / DownloadPapers dot html. Il donne l’un des plus beaux résumés de l’endroit où une compréhension de Wittgenstein nous laisse que j’ai jamais vu. « Il ne doit y avoir aucune tentative d’expliquer notre activité linguistique/conceptuelle (PI 126) comme dans la réduction de l’arithmétique à la logique de Frege ; aucune tentative de lui donner des fondations épistémologiques (PI 124) comme dans les comptes basés sur le sens d’une connaissance a priori; aucune tentative de caractériser des formes idéalisées de celui-ci (PI 130) comme dans le sens logique; aucune tentative de réforme (PI 124, 132) comme dans la théorie de l’erreur de Mackie ou l’intuitionnisme de Dummett; aucune tentative de rationaliser (PI 133) comme dans le récit de Quine de l’existence; aucune tentative pour le rendre plus cohérent (PI 132) comme dans la réponse de Tarski aux paradoxes menteurs; et aucune tentative pour le rendre plus complet (PI 133) comme dans le règlement des questions d’identité personnelle pour des scénarios hypothétiques bizarres de « téléportation ». Enfin, permettez-moi de suggérer qu’avec la perspective que j’ai encouragée ici, W est au centre de la philosophie et de la psychologie contemporaines et n’est pas obscure, difficile ou non pertinente, mais scintillante, profonde et limpide et que de lui manquer est de manquer l’une des plus grandes aventures intellectuelles possibles. Ceux qui souhaitent un cadre complet à jour pour le comportement humain de la vue moderne de deuxemssyst peuvent consulter mon livre 'The Logical Structure of Philosophy, Psychology, Mind and Language in Ludwig Wittgenstein and John Searle' 2nd ed (2019). Ceux qui s’intéressent à plus de mes écrits peuvent voir «Talking Monkeys --Philosophie, Psychologie, Science, Religion et Politique sur une planète condamnée --Articles et revues 2006-2019 3e ed (2019) et Suicidal Utopian Delusions in the 21st Century 4th ed (2019) et autres. (shrink)