Cet article examine la thèse de Lautman selon laquelle la réalité des mathématiques doit être approchée par la « réalisation des idées dialectiques ». Pour ce faire, nous reprenons deux exemples que Lautman a lui-même traités. La question est de savoir si on peut ou non mieux décrire les idées dialectiques comme mathématiques, particulièrement maintenant que les moyens mathématiques d’approcher ces idées au niveau de généralisation appropriée existent. Ainsi, la théorie des catégories, inconnue de Lautman, peut donner une description très (...) approfondie de l’idée de dualité. Je soumets de plus que les instances, données par Lautman, de la réalisation des idées dialectiques en dehors des mathématiques et de la physique mathématique sont assez maigres, ce qui suggère fortement que les idées qu’il a décrites si admirablement sont immanentes à la pratique des mathématiques, au lieu d’appartenir à « une réalité idéale, supérieure aux mathématiques ».This paper examines Lautman’s claim that the reality of mathematics is to be addressed through the “realisation of dialectical ideas”. This is done in the context of two examples treated by Lautman himself. The question is raised as to whether we might better describe dialectical ideas as mathematical ones, especially now that we have mathematical means to approach these ideas at the right level of generality. For example, category theory, unknown to Lautman, can describe the idea of duality very thoroughly. It is argued that the instances given by Lautman of the realisation of dialectical ideas outside of mathematics and mathematical physics are rather slight, leading us to conclude that the ideas he so brilliantly describes are immanent to mathematical practice, rather than belonging to “an ideal reality, superior to mathematics”. (shrink)

Résumé Cet article interroge la place du platonisme de Lautman dans la tradition épistémologique en France à partir de Brunschvicg. Nous soutenons que, malgré sa position originale, le platonisme de Lautman s’intègre en effet dans cette tradition et doit être compris dans ce contexte. La première partie rappelle certains éléments du relativisme critique de Brunschvicg. La seconde tente une reconstruction de la philosophie de Lautman. Nous concluons en montrant comment le rôle donné par Brunschvicg à « l’expérience » se traduit (...) chez Lautman dans une difficulté propre, concernant la « matière » dans laquelle se réalisent les « Idées ».This paper considers the position of Lautman’s Platonism in the French tradition of epistemology starting with Brunschvicg. We claim that Lautman’s Platonism does indeed belong to this tradition and can only be properly understood in this context. The first section discusses Brunschvicg’s “critical relativism”. The second section aims at reconstructing in this context Lautman’s philosophy. Finally, we show that Brunschvicg’s inheritance — or, more specifically, the role that Brunschvicg gives to “experience” — leads in Lautman’s texts to a particular problem, concerning the “material” in which “Ideas” are realized. (shrink)

Excerpt from Les Etapes de la Philosophie Mathematique Nous voudrions indiquer maintenant comment notre enquete historique nous a guide vers les conclusions que nous avons soutenues dans les dernieres pages de notre travail. About the Publisher Forgotten Books publishes hundreds of thousands of rare and classic books. Find more at www.forgottenbooks.com This book is a reproduction of an important historical work. Forgotten Books uses state-of-the-art technology to digitally reconstruct the work, preserving the original format whilst repairing imperfections present in the (...) aged copy. In rare cases, an imperfection in the original, such as a blemish or missing page, may be replicated in our edition. We do, however, repair the vast majority of imperfections successfully; any imperfections that remain are intentionally left to preserve the state of such historical works. (shrink)

La question fondamentale d’Albert Lautman concerne la nature du réel et la capacité de l’esprit de l’appréhender. C’est pourquoi elle convoque les données de la physique, leur expression en concepts mathématiques et leur interprétation métaphysique qui doit préciser le rapport de la pensée humaine à la réalité du monde. L’examen des théories mathématiques les plus sophistiquées de son temps est destinée à montrer l’affinité de la genèse des concepts mathématiques avec une Dialectique supérieure, qui met en jeu les Idées, comprises (...) en un sens dérivé de Platon. Mon but est d’expliquer comment Lautman comprend les termes « Dialectique », « Idée », « genèse », simultanément sur le plan métaphysique et dans leur incarnation mathématique. Je montrerai que Lautman développe une conception très personnelle du platonisme, différente de celle de la version reçue par la tradition philosophique. Lautman rejette la séparation des Idées et du sensible, et adopte le style de pensée heideggerien pour montrer que les Idées sont mues par une Dialectique et qu’elles entretiennent une relation réciproque, dialectique, avec le sensible.Albert Lautman’s main questioning was about the nature of reality and the capacity of mind to grasp reality. The answer needs to go at the same time into the laws and tools of physics and the corresponding concepts of mathematics, and to search for the metaphysical interpretation that could give an account of the relation between scientific thought and reality. The examination of the most sophisticated mathematical theories was intended to show the affinity between the generation of mathematical concepts and the dialectical movement of Ideas. My aim is to explain how Lautman understood ‘Idea’, ‘Dialectic’, ‘genesis’ at once in a mathematical and in a metaphysical meaning. I will point out that Lautman had a very personal conception of Platonism, very different from Platonism of mathematicians of his time and very different from the traditional interpretation developed in philosophy. Lautman did not assume the separation between Ideas and the sensible world. By contrast, he adopted the Heideggerian style of thought to show the Dialectic between Ideas and the reciprocal relation between Ideas and the sensible. (shrink)

Nous étudions le Rapport de Lautman qui ouvre ce volume. Après une description critique des contenus et une discussion des fonds conceptuels du Rapport, nous montrons comment l’émergence postérieure de la théorie des faisceaux répond techniquement aux questionnements et aux préfigurations de Lautman.We study Lautman’s Rapport which opens this volume. After a critical description and a discussion of the contents of the Rapport, we show how the emergence of sheaf theory answers technically many questions raised by Lautman ten years earlier.

The view that toposes originated as generalized set theory is a figment of set theoretically educated common sense. This false history obstructs understanding of category theory and especially of categorical foundations for mathematics. Problems in geometry, topology, and related algebra led to categories and toposes. Elementary toposes arose when Lawvere's interest in the foundations of physics and Tierney's in the foundations of topology led both to study Grothendieck's foundations for algebraic geometry. I end with remarks on a categorical view of (...) the history of set theory, including a false history plausible from that point of view that would make it helpful to introduce toposes as a generalization from set theory. (shrink)

On propose ici trois avenues de recherche susceptibles d’élucider le lien un peu mystérieux entre dialectique et mathématiques dans la philosophie d’Albert Lautman.This note proposes three lines of work that might help to shed some light on the problematic nexus between dialectical ideas and mathematical theories in Albert Lautman’s thinking.

0. The ancient and honorable role of philosophy as a servant to the learning, development and use of scientific knowledge, though sadly underdeveloped since Grassmann, has been re-emerging from within the particular science of mathematics due to the latter's internal need; making this relationship more explicit (as well as further investigating the reasons for the decline) will, it is hoped, help to germinate the seeds of a brighter future for philosophy as well as help to guide the much wider learning (...) of mathematics and hence of all the sciences. 1. The unity of interacting opposites "space vs. quantity", with the accompanying "general vs. particular" and the resulting division of variable quantity into the interacting opposites "extensive vs. intensive", is susceptible, with the aid of categories, functors, and natural transformations, of a formulation which is on the one hand precise enough to admit proved theorems and considerable technical development and yet is on the other hand general enough to admit incorporation of almost any specialized hypothesis. Readers armed with the mathematical definitions of basic category theory should be able to translate the discussion in this section into symbols and diagrams for calculations. 2. The role of space as an arena for quantitative "becoming" underlies the qualitative transformation of a spatial category into a homotopy category, on which extensive and intensive quantities reappear as homology and cohomology. 3. The understanding of an object in a spatial category can be approached through definite Moore-Postnikov levels; each of these levels constitutes a mathematically precise "unity and identity of opposites", and their ensemble bears features strongly reminiscent of Hegel's Science of Logic. This resemblance suggests many mathematical and philosophical problems which now seem susceptible of exact solution. (shrink)

Lautman synthétise dans ce rapport quelques idées centrales qui seront par la suite développées dans ses Thèses . Il s’agit d’un manuscrit inédit, qui semble être le premier texte scientifique du jeune philosophe. Lautman étudie le local et le global suivant Galois, Riemann, Hilbert et Cartan, et propose une hypothèse sur les rapports structurels généraux du local et du global, qui préfigure l’essor de la théorie des faisceaux, laquelle apparaîtra une dizaine d’années après.Lautman synthetizes some of the main ideas that (...) will be developped in his Thesis . It is an unpublished manuscript, which may be the first scientific text of the young philosopher. Lautman studies the local/global dialectics, following Galois, Riemann, Hilbert and Cartan, and proposes an hypothesis on general structural relations between local and global, very close to the sheaf theory paradigm which will emerge ten years later. (shrink)

Dans cet article, j’explore dans un premier temps la conception que se fait Lautman de la dialectique en examinant ses références à Platon et Heidegger. Je compare ensuite les structures dialectiques identifiées par Lautman dans les mathématiques contemporaines avec celles qui émergent de ses sources philosophiques. Enfin, je soutiens que les structures qu’il a découvertes dans les mathématiques sont plus riches que le suggère son modèle platonicien, et que la distinction « ontologique » de Heidegger est moins utile que semblait (...) le penser Lautman. -/- In this paper, I first explore Lautman’s conception of dialectics by a consideration of his references to Plato and Heidegger. I then compare the dialectical structures that he found in contemporary mathematics with the model that emerges from his philosophical sources. Finally, I argue that the structures that he discovered in mathematics are richer than his Platonist model suggests, and that Heidegger’s “ontological” distinction is less useful than Lautman seemed to believe. (shrink)

A general result is proved about the existence of maximally consistent theories satisfying prescribed closure conditions. The principle is then used to give streamlined proofs of completeness and omitting-types theorems, in which inductive Henkin-style constructions are replaced by a demonstration that a certain theory respects a certain class of inference rules.

Ce volume reproduit sous un titre nouveau l'ensemble des textes de philosophie mathematique d'Albert Lautman, ecrits entre 1933 et sa mort en 1944. Il fut introduit a la beaute des mathematiques par son genial ami Jacques Herbrand, ce qui l'a preserve de la focalisation, alors frequente, sur le probleme des fondements. Comme Jean Cavailles, qui fut aussi son ami, il s'inscrit dans la poursuite mais aussi la contestation de la voie ouverte par leur maitre commun Leon Brunschvicg dans Les etapes (...) de la philosophie mathematique. Trois themes sont dominants. Les creations mathematiques peuvent et doivent etre lues comme des approfondissements d'oppositions dialectiques au sens platonicien entre des contraires tels que le Continu et le Discontinu, le Meme et l'Autre, l'Essence et l'Existence. Les theories mathematiques sont une matiere et la tache du philosophe est concue comme effort pour degager la realite ideale a laquelle elles participent. Ainsi apparaissent les lignes d'une theorie des rapports entre essence et existence ou la structure d'un Etre s'interprete en termes d'existence pour d'autres etres. Le deuxieme theme est l'unite profonde des mathematiques, invisible au temps ou l'Analyse dominait, visible avec la revolution introduite par Riemann, Hilbert et l'Algebre abstraite. Le troisieme est l'harmonie profonde entre theories mathematiques et developpements de la physique quantique comme de la Relativite. (shrink)

J’essaie de montrer que la réalité inhérente aux théories mathématiques leur vient de ce que dans leur mouvement propre s’incarne comme le schéma des liaisons que soutiennent entre elles certaines idées abstraites dominatrices par rapport aux Mathématiques. Je montre en particulier comment le problème des rapports de Yessence et de Y existence reçoit dans les théories mathématiques effectives une solution toute différente de celles de l’intuitionnisme ou du formalisme.