“Structuralism, Fictionalism, and the Applicability of Mathematics in Science”. This article has two objectives. The first one is to review some of the most important questions in the contemporary philosophy of mathematics: What is the nature of mathematical objects? How do we acquire knowledge about these objects? Should mathematical statements be interpreted differently than ordinary ones? And, finally, how can we explain the applicability of mathematics in science? The debate that guides these reflections is the one between mathematical realism and (...) anti-realism. On the other hand, the second objective is to discuss the arguments that use the applicability of mathematics in science to justify mathematical realism, and show that none of them reaches its aim. To this end, we will distinguish three aspects of the problem of the applicability of mathematics: the utility of mathematics in science, the unexpected utility of some mathematical theories, and the apparent indispensability of mathematics in our best scientific theories - in particular, in our best scientific explanations. Finally, I argue that none of these aspects constitutes a reason to adopt mathematical realism. (shrink)

¿Qué relación hay entre derecho y lenguaje? Y ¿entre lenguaje y ley? ¿Cómo se inicia la serie de la juridicidad? ¿Qué la posibilita? Una característica hace de lo humano algo aparte de lo vivo: la palabra. El presente trabajo pretende recorrer parte de esta huella, intentando repensar allí la centralidad del lenguaje en la estructuración misma de la juridicidad. Volverse al lenguaje es, en definitiva –como señala P. Sneh– un gesto político.

Resumen: La capacidad unificadora de una teoría científica es un rasgo usualmente contemplado a la hora de evaluar su adecuación. Kitcher ha elucidado satisfactoriamente tal noción mediante su enfoque de los patrones explicativos. Sin embargo, su perspectiva adolece de ciertas carencias. Concretamente, sostendremos que el requisito de rigurosidad de los patrones para evaluar la capacidad unificadora debe ser repensado, pues atenta contra la heterogeneidad característica de las diferentes aplicaciones de teorías unificadoras. A su vez, mostraremos cómo estas dificultades bien pueden (...) ser subsanadas desde el marco del estructuralismo metateórico sin por ello resignar ninguna de las acertadas intuiciones de Kitcher. -/- Palabras clave: Explicación, Kitcher, estructuralismo metateórico, unificación, unificación espuria. -/- Abstract: Kitcher has satisfactorily explicated unification using his particular approach to scientific explanation. However, we believe that his perspective has certain problems, which have been inherited by more recent approaches to the topic. Specifically, the requirement of stringency of patterns that Kitcher proposes to determine the unifying power of an explanatory pattern undermines the typical and peculiar heterogeneity we can find in different applications of unifying theories. We will show how this topic can be better addressed by the perspective built by metatheoretical structuralism without sacrificing any of Kitcher’s correct intuitions. -/- Keywords: Explanation, Kitcher, metatheoretical structuralism, spurious unification, unification. (shrink)

Neste breve ensaio, exploramos alguns caminhos de uma controvérsia milenar em torno do estatuto dos entes matemáticos e apresentamos alguns argumentos a favor de uma posição platonista, aproximadamente clássica, sobre o tema. Este trabalho foi realizado no âmbito da disciplina de Filosofia das Ciências II, parte do curso de Filosofia da Faculdade de Letras da Universidade do Porto, Portugal.

El presente estudio tiene como finalidad describir las tendencias contemporáneas de las ciencias cognitivas para abordar el fenómeno del significado matemático. A partir de esto, comienza una critica a los paradigmas innatistas, neurocentristas y constructivistas de la cognición matemática. El marco de la crítica a las ideas contenidistas del significado en las teorías innatas y constructivistas se fundamenta den la idea del significado como un bucle dinámico que emerge de las interdependencias cerebro-mente-entorno irreductible a un nivel sobre otros. Aquí (...) el cuerpo, las metáforas conceptuales y los entornos educativos ecológicos como STEAM proporcionan instancias para un significado corpóreo, situado, anti-representacionalista y enmarcado en el ciclo de percepción-acción. (shrink)

Para matemáticos interesados en problemas de fundamentos, lógico-matemáticos y filósofos de la matemática, el axioma de elección es centro obligado de reflexión, pues ha sido considerado esencial en el debate dentro de las posiciones consideradas clásicas en filosofía de la matemática (intuicionismo, formalismo, logicismo, platonismo), pero también ha tenido una presencia fundamental para el desarrollo de la matemática y metamatemática contemporánea. Desde una posición que privilegia el quehacer matemático, nos proponemos mostrar los aportes que ha tenido el axioma en (...) varias áreas fundamentales de la matemática, su aplicación en la lógica de primer orden, así como una breve descripción de las pruebas de consistencia relativa debidas a Gödel y Cohen, las cuales establecieron su independencia del sistema axiomático Zermelo-Fraenkel (ZF). Con todo lo anterior mostraremos cómo el quehacer matemático contemporáneo se adscribe al platonismo matemático en los términos de Bernays y Ferreirós. Revisaremos también los argumentos de Zermelo y Cantor para permitir el uso de asunciones en la matemática, los cuales se acercan a los planteamientos de la investigación científica y esbozan relaciones con la filosofía de la práctica matemática. Finalmente, justificamos el uso del axioma de elección en la contemporaneidad, abogando por unas relaciones de equidad entre la matemática y la filosofía, presentando además su plena vigencia, a través de la referencia a algunos problemas abiertos en la actualidad que vinculan el axioma de elección con la teoría de Ramsey. (shrink)

Al final de su libro “La conciencia inexplicada”, Juan Arana señala que la nomología, explicación según las leyes de la naturaleza, requiere de una nomogonía, una consideración del origen de las leyes. Es decir, que el orden que observamos en el mundo natural requiere una instancia previa que ponga ese orden específico. Sabemos que desde la revolución científica la mejor manera de explicar dicha nomología ha sido mediante las matemáticas. Sin embargo, en las últimas décadas se han presentado algunas propuestas (...) basadas en modelos matemáticos que fundamentarían muchos aspectos de la realidad. Dos claros ejemplos provienen de Roger Penrose y Max Tegmark. Esto lleva a pensar en una posición no solo nomológica sino además nomogónica de la matemática. ¿Puede la Naturaleza estar fundada por las matemáticas como señalan algunos físico-matemáticos? Y en ese caso, ¿sería pertinente buscar una nomo-génesis de esta índole en la constitución de la conciencia? -/- At the end of his book “La conciencia inexplicada”, Juan Arana points out that nomology, explanation according to the laws of nature requires a nomogony, an account of the origin of the laws. This means that the order that we can observe in the natural World demands something prior to posit that specific order. Since the scientific revolution we know that the best way to explain that nomology has been through mathematics. Anyway, in recent decades a number of proposals based on mathematical models that found many aspects of reality has been offered. Two clear examples come from Roger Penrose and Max Tegmark. This drives us to think of a position of mathematics as not only nomological but also nomogonical. Can Nature be founded by mathematics as some physicists and mathematicians point out? And, in this case, would be relevant this kind of approach to search a nomo-genesis in the constitution of consciousness? (shrink)

La siguiente ponencia-taller tiene por finalidad explicar cómo podría aplicarse el Método de George Polya para resolver problemas (matemáticos) en el contexto de la Lógica Matemática, especialmente en la lógica Matemática elemental (la lógica de primer orden con identidad). Es una propuesta pedagógica experimental (además de las ya existentes) que tal vez pueda ser útil para la enseñanza de la lógica matemática en ciencias o en humanidades. Dicha ponencia se presentó (vía web) con motivo de la celebración del Día Mundial (...) de Lógica 2022 en dos ocasiones: En la Universidad Central de Venezuela (Venezuela) y en la Universidad Mayor de San Andrés (Logic & Analytics Group - La Paz y La Sociedad Científica de Filosofía de la UMSA, Bolivia). Es un proyecto pedagógico en construcción. (shrink)

Existen diversos tipos de realismo matemático. Desde una perspectiva filosófica, en la mayoría de los casos, los realistas asumen algunas o todas de las siguientes tesis: 1) Existen los objetos matemáticos; 2) Los objetos matemáticos son abstractos y 3)Los objetos matemáticos son independientes a agentes, lenguajes y prácticas. En este trabajo discutiré algunos problemas con respecto al tercer punto, referente a la independencia entre el lenguaje y los objetos matemáticos. La independencia del lenguaje implica que, sin importar el lenguaje (...) que se utilice, el objeto matemático será el mismo. En mi opinión, se puede problematizar esta idea de independencia; y para mostrar esto presentaré algunos ejemplos en los sistemas de numeración indoarábigo y romano, en los que el lenguaje parece incidir en el entendimiento y las operaciones aritméticas de los números naturales. Con esto se abre la puerta a otras maneras posibles de entender la relación entre los pretendidos objetos matemáticos y los lenguajes que los describen. (shrink)

El análisis de las propiedades geométricas de las configuraciones finitas ha sido uno de los objetivos fundamentales del estudio de las diversas geometrías discretas y de la geometría combinatoria. Este artículo propone plantear la posibilidad de una elucidación de lo matemático desde una perspectiva derivada de las ‘matemáticas en acción’ y no desde una concepción ‘analítico gramatical’ de sus fundamentos, y establecer, al menos, un mínimo umbral de validez, que articule una interpretación semiótica de los signos matemáticos, a través (...) del análisis de un par de ejemplos elementales de geometría configuracional, cuyas construcciones son propuestas por el autor. (shrink)

Suele señalarse la fuerte influencia que la teología natural tuvo sobre Darwin en su conceptualización del fenómeno de la adaptación. La teoría de la selección natural explicaría el mismo fenómeno que los teólogos naturales querían explicar: la adaptación. Recientemente ha sido señalado, sin embargo, que la forma darwiniana de conceptualizar la adaptación es novedosa. Las adaptaciones de la teología natural presupondrían la idea de que los organismos existen para la realización y manutención del equilibrio natural establecido por el creador. El (...) punto de este trabajo discutir esta cuestión, asumiendo el marco del estructuralismo metateórico. The strong influence that natural theology had over Darwin’s conceptualization of the adaptation phenomenon is frequently noted. The natural selection theory would explain the same phenomenon that the natural theologist intended to explain: the adaptation. Recently has been claimed, on the contrary, that the Darwinian way of conceptualizing adaptation is new. The concept of adaptation from natural theology presupposes the idea that organisms exist for realization and support of the natural equilibrium stated by the creator. In this work I will discuss this point, assuming the metatheoretical structuralism frame. (shrink)

Aunque parece una teoría relativamente simple, la teoría de la selección natural ha traído muchas discusiones al respecto de su reconstrucción. En particular, los autores han tenido dificultades a la hora de elucidar el concepto de aptitud (fitness) adecuadamente. El punto de vista de este trabajo consiste en que para entender adecuadamente esta cuestión, y además, para dar cuenta de manera adecuada de las explicaciones seleccionistas, tanto las dadas por Darwin como sus aplicaciones más actuales, es necesario a la hora (...) de reconstruir la teoría utilizar más conceptos de los que habitualmente se utilizan. En este trabajo se explayará sobre este punto y se presentará una reconstrucción de la teoría en cuestión con las herramientas del estructuralismo metateórico. -/- Title: Structuralist Reconstruction of Natural Selection Theory Abstract: Despite seeming relatively simple Natural Selection Theory has brought up many discussions regarding its reconstruction. In particular, many authors have had difficulties in explicating the concept of fitness. The point of view of this paper is that more concepts are needed in order to, on the one hand, understand more adequately this issue, and on the other hand, to account for selectionist explanations, both Darwin’s and current applications, in an adequate way. Having this in mind, I will offer a reconstruction of Natural Selection Theory using the tools of metatheoretical structuralism. (shrink)

En este artículo, se pretende brindar una nueva perspectiva al respecto de la atribución de funciones en biología. La idea consiste en considerar que los conceptos funcionales son conceptos primitivos de una teoría científica, tal como desarrollada por Darwin en sus textos sobre la fecundación cruzada. Intentaré mostrar que teorías, que hacen ese uso de los conceptos funcionales, tienen características sintomáticas de teorías consideradas habitualmente genuinas y compararé mi enfoque con otros alternativos acerca de las funciones. En la reconstrucción, se (...) presupondrán las herramientas del estructuralismo metateórico. (shrink)

Resumen: Usualmente se ha asumido que una única distinción puede dar cuenta del rol que cumplen los conceptos en una teoría respecto de la contrastación y respecto de la explicación. Intentaremos mostrar que esta asunción es incorrecta. Por una parte, no hay razones para considerar que esta coincidencia deba darse, y por otra, como se intentará mostrar a partir de varios ejemplos, de hecho, no se da. La base de contrastación de una teoría no tiene por qué coincidir con el (...) explanandum de la teoría. Para defender este punto se asumirá el estructuralismo metateórico. Se extraerán consecuencias para la concepción metateórica presupuesta. Palabras claves: Explicación; contrastación; T-teoricidad; Estructuralismo metateórico; Distinción teórico observacional -/- Title: Explain and test Abstract: It is usually held that one distinction can account for the role that concepts play in a theory regarding both test and explanation. We will demonstrate that this assumption is incorrect. On the one hand, there is no reason to think that this coincidence should exist. On the other, this is not the case, as we will show analysing several examples. The testing basis of a theory does not have to coincide with the explanandum of the theory. To defend this point we will endorse de metatheoretical structuralism. In addition, we will consider some repercussions that this discussion has for the assumed metatheoretical framework. Key-words: Explanation; Test; T-theoreticity; Metatheoretical Structuralism; Theoretical observational distinction . (shrink)

A noção de objecto abstracto desempenha um papel central em diferentes debates filosóficos contemporâneos, da metafísica à estética, passando pela filosofia da linguagem. A sua origem está contudo relacionada com a filosofia da matemática e em particular, com o trabalho de Frege nos fundamentos da aritmética. O nosso primeiro objectivo será assim o de explicar o contributo desta noção para o entendimento Fregeano da realidade matemática. Veremos também que, em virtude de certas dificuldades inerentes ao projeto Fregeano, a dada altura (...) a natureza do universo matemático passou a ser entendida nos termos da chamada teoria dos conjuntos. Com este material à nossa disposição, podemos então discutir o papel desempenhado pela noção de objecto abstracto em certos debates filosóficos contemporâneos. Em particular, procuraremos ilustrar o interesse actual da noção, discutindo a distinção abstracto/concreto. (shrink)

Las teorías que usamos para representar el mundo pueden ser extremadamente complejas. Abordan temas tales como electrones, campos cuánticos, estrellas de neutrones, materia oscura, redes neuronales, mercados económicos, la atmósfera y muchas otras entidades que suponemos existen en el universo. Al formular nuestras teorías, recurrimos a lenguajes exactos que nos permiten minimizar la vaguedad y expresarnos lo más precisa y cuantitativamente posible. Recurrimos a la matemática. Cuando formulamos nuestras teorías fácticas en lenguaje matemático, estas se refieren no solamente a (...) objetos que nosotros interpretamos como materiales, tales como partículas o personas, sino también a entidades más raras de un mundo abstracto: conjuntos, números, funciones, espacios algebraicos, variedades, topologías, y otras entidades similares. Estos objetos no son materiales en el sentido en que nosotros decimos que una manzana es material. Ellos no existen en el espacio-tiempo, no interactúan, no cambian o evolucionan. Sin embargo, allí están, profundamente arraigados en nuestras teorías más apreciadas acerca del mundo. (shrink)

RENÉ DESCARTES E O MÉTODO CARTESIANO -/- RENÉ DESCARTES AND THE CARTESIAN METHOD -/- Emanuel Isaque Cordeiro da Silva - CAP-UFPE, IFPE-BJ e UFRPE. E-mails: [email protected] e [email protected]. WhatsApp: (82)98143-8399. -/- INTRODUÇÃO -/- Antes de abordar a metafísica tal qual Descartes a propõe como uma sólida “fundamentação” das ciências e, também, antes de falar das ciências construídas para a busca desse fundamento, é necessário analisar o método cartesiano, salve que é a alma desse presente artigo. Não se trata apenas de (...) relatar os preceitos do método ao seu modelo matemático, e sim, também, para entender porque o método em si necessita de uma fundamentação alicerçada na metafísica. Mas isso é a maneira pelo qual o projeto revolucionário de Descartes substituiu a autoridade da tradição pela autoridade da razão. -/- I – UM PROJETO REVOLUCIONÁRIO -/- No se pode deixar atingir-se, lendo o Discurso do Método, pelo caráter revolucionário que Descartes queria conferir ao seu projeto. É notável, e vale salientar o cuidado que Descartes toma na primeira parte, sublinhando o que seu projeto tem de singular: “Assim, meu propósito não é ensinar aqui o método que cada um deve seguir para bem conduzir sua razão, mas somente mostrar de que modo procurei conduzir a minha” (DESCARTES, 1996. p. 5). Ainda mais notável é o fato escolhido por Descartes e destacado na segunda parte, a da casa que deve ser derrubada para reconstruí-la: -/- É verdade que não vemos demolirem-se todas as casas de uma cidade só com o propósito de refazê-las de outra forma e de tornar as ruas mais belas, mas não é incomum vermos muitos mandarem derrubar as suas para reconstruí-las, e até, por vezes, a isso são obrigados quando elas correm o risco de cair por si mesmas e os alicerces não estão muito firmes (DESCARTES, 1996. pp. 17-18). -/- Descartes enfatiza explicitamente a oposição entre tal abordagem e a estratégia reformista de “redigitar” a sua casa, organizando-a, reparando-a aqui e ali. Certamente ele está combatendo a ideia revolucionária na política, o design ambicioso daqueles que querem perturbar o Estado, porque nesta área a destruição tornaria a reconstrução futura impossível. Mas o que é insano sobre “uma cidade inteira” torna-se possível quando se trata de cada um de sua própria casa. -/- O que é possível torna-se necessário, quando a casa ameaça entrar em colapso, uma vez que seus alicerces são vulneráveis. Casa vacilante, que seria inútil só querer reparar, é assim que Descartes considera o todo “opiniões” que lhe foram transmitidas em sua educação. Essas opiniões são, acima de tudo, incertas: pode haver alguma verdade nelas, mas provavelmente também há o lado falso, e essa mistura indissociável faz com que todas sejam falsas, a verdade só tem valor para nós se pudermos distinguir com certeza do erro. -/- O julgamento negativo de Descartes de tudo o que ele tem, como escreve, “recebido em dívida”, pressupõe, é claro, uma crítica do conteúdo dessas opiniões e, acima de tudo, uma crítica aos princípios sobre os quais eles descansam. Mas isso não é o suficiente para fazer as pessoas entenderem a escolha inicial de uma abordagem revolucionária, de preferência ao empreendimento reformista, que seria criticar, uma após a outra, as opiniões recebidas, e consolidar, pouco a pouco, a sua “Casa”. Mais do que o conteúdo peculiar das opiniões recebidas, é o próprio fato que elas são recebidas, em uma aquisição desordenada e perigosa, o que importa. E se temos que revolucionar o conhecimento, se temos que destruir essas opiniões antes de substituí-las por outras é, antes de mais nada, uma questão de substituir conquista controlada da desordem e chance de sua aquisição, em vez de se limitar a correções que só aumentariam essa confusão. -/- Nisso, a decisão primeira de Descartes ultrapassa as circunstâncias históricas do seu aparecimento, e conserva em todos os tempos o valor de um modelo para o pensamento: a filosofia nasce de uma ruptura, não com esta ou aquela tradição, mas com a tradição como tal. -/- II – DESCARTES E A TRADIÇÃO -/- A tradição é um pensamento sem sujeito: pensamento que ninguém pensa, não pensa. Descartes se opõe ao requisito essencial, para toda ciência, de ser a matéria de um sujeito: não há ciência até que toda verdade seja reconhecida em seu poder de sugerir notícias, de acordo com uma sequência que deve ser reconhecida, para que eu (Descartes) possa reivindicar, de forma legítima, a ciência universal. Quando Descartes expressa essa afirmação, em seu próprio texto, em seus textos de juventude, o que nos parece ser a marca de uma excessiva arrogância, expressa, antes, uma condição inscrita na própria natureza do conhecimento. -/- O projeto revolucionário está assim ligado à uma ideia que Descartes enuncia no início da segunda parte do Discurso do Método: “[...] não há tanta perfeição nas obras compostas de várias peças, e feitas pelas mãos de vários mestres, como naquelas em que apenas um trabalhou” (DESCARTES, 1996. p. 15). Certamente, por “perfeição, Descartes entende menos a magnitude e a riqueza essa ordem e consistência. Ele reconhece que algumas áreas são, irremediavelmente, entregues à imperfeição. Este é o caso do Estado e das instituições políticas em geral: resultados não intencionais de uma multidão de ações históricas entrelaçadas, nossas instituições nunca correspondem a um projeto consciente, e não seria razoável empreender sua reforma de acordo com tal projeto. Descartes não ignora as virtudes da cooperação para a execução de atividades materiais complexas. Porque as aptidões corporais dos homens são distintas e capazes de se especializar, os indivíduos podem interferir uns com os outros e se harmonizar visando a colaboração do todo. -/- Não obstante, as obras de pensamento, as ciências em particular, não conseguem encontrar a perfeição de que são susceptíveis por serem construídas por sucessivas sedimentações históricas, de acordo com a descoberta uma das outras, fazendo com que todas essas descobertas, a ciência, não seria obra de ninguém. Se o exercício de uma atividade manual nos impede de praticar outra (porque as mesmas mãos dificilmente podem se exercitar ao mesmo tempo para cultivar os campos e tocar a cítara), o conhecimento de uma verdade nos ajuda a encontrar outras verdades. Finja que esse conhecimento é apenas uma contribuição fragmentada para uma síntese coletiva da qual o princípio nos escapa, é desconsiderar sua fecundidade, isto é, o que faz dele um verdadeiro conhecimento. -/- O que Descartes está lutando, essa necessidade de que todos participem de uma instituição já iniciada e que ninguém pode dominar, essa herança de aceitar, enriquecer e transmitir é o que chamamos de tradição: então ele escreve o Discurso do Método não em latim, linguagem de transmissão histórica do conhecimento, mas em francês, linguagem “vulgar”. Certamente, Descartes luta contra a tradição científica e filosófica em vigor em seu tempo, a herança já enfraquecida do pensamento de Aristóteles, transmitida durante a Idade Média pelas Universidades (o que denominamos de “escolasticismo”), mas ele luta acima de tudo em sua pretensão de manter seu valor de ser, precisamente, uma tradição. Esta não é uma luta em nome da “novidade” ou da “modernidade”, que são sempre definidas em relação a uma tradição, mas uma luta em nome da verdade, o que é mais antiga do que qualquer tradição. -/- III – A LIGAÇÃO ENTRE AUTORIDADE E A VERDADE -/- Descartes assim fórmula seu projeto, na segunda parte do Discurso do Método: [...] mas, quanto às opiniões que até então eu aceitara, o melhor que podia fazer era suprimi-las de uma vez por todas, a fim de substituí-las depois, ou por outras melhores, ou então pelas mesmas, quando eu as tivesse ajustado ao nível da razão (DESCARTES, 1996. p. 18). -/- Que uma opinião poderia ter sido recebido por ele em sua vida, sem ter sido ajustada ao nível da razão, significa que foi considerada a sua verdade, sem que ele tenha que se pronunciar sobre o julgamento do que declarava verdadeiro. Então foi um preconceito, que ele achava que era verdade apenas para tê-lo recebido, isto é, por causa de sua fonte. Que a afirmação de uma opinião como verdadeira é validada por sua fonte, e isso corresponde ao que denominamos como “argumento de autoridade”: é verdade porque Platão, ou Aristóteles, disseram isso. Agora é possível, é claro, descobrir verdades lendo Platão ou Aristóteles, desde que essas descobertas sejam não apenas para conferir Platão, Aristóteles, ou qualquer outro autor (“autoritário”), mas para encontrar a si mesmo com as verdades em questão. Parece, portanto, que a revolução cartesiana visa romper o elo entre as concepções de verdade e autoridade. -/- -/- Todavia, olhando mais de perto, veremos que esse não é o caso. Quebrar o elo entre autoridade e verdade é ser crítico, enquanto Descartes encara sim o “espírito da dúvida”. Ser crítico é estar interessado apenas no conteúdo das ideias e ser perfeitamente indiferente à sua fonte. Descartes, como supracitado, não se compromete a criticar suas antigas opiniões uma após a outra, o que seria o passo mais oposto ao princípio de autoridade, quanto mais indiferente à questão da fonte. O que Descartes propõe é bem diferente: ele propõe substituir, com todas as autoridades que estão fora dele (em seu exterior), pela autoridade que está nele (em seu interior), e que muitas vezes é até confundida, veremos isso. Agora é sobre “ajustar as opiniões ao nível da razão”: a razão, isto é, a razão de Descartes, tal qual o fala e presente em cada um, deve ser autoritária em matéria de verdade, deve ser o tribunal diante do qual tudo aparece. É uma interiorização do argumento de autoridade, não é uma rejeição deste argumento. -/- A interiorização da autoridade explica o lugar central da certeza na filosofia de Descartes. O que importa na verdade é a certeza de possuí-la, e essa certeza é uma ato de confiança em relação às fonte autorizada da verdade: tudo que é “ajustado ao nível da razão” será certo, se a razão for o que é autoritário. -/- Duas questões orientadoras sucessivas inspirarão a investigação da certeza: -/- 1 – A primeira consistirá em estabelecer o que ele realmente tem certeza, delimitando o domínio da certeza autêntica daquilo que é garantido pela autoridade da razão. 2 – A segunda consistirá em se perguntar se ele está certo em ter certeza sobre algo, porque a autoridade internalizada deve se questionar. -/- A primeira questão, considerada isoladamente, leva à ideia cartesiana de método. O conjunto das duas questões, a passagem da primeira para a segunda, depois da segunda para a primeira, constitui a metafísica de Descartes. -/- IV – O QUE É A RAZÃO ? -/- O que significa ter razão em um tribunal? As primeiras linhas do Discurso do Método definem a razão como sendo um senso comum, isto é, a faculdade de distinguir a verdade da mentira, o que nos diferencia dos animais. Em outras palavras, a razão é o poder, não para racionar, mas degenerar, pensando na medida em que se pronuncia sobre qualquer objeto que se apresente. Separado em um sentido de outras faculdades do pensamento, este poder está envolvido em qualquer operação de pensamento: a memória supõe um julgamento sobre o passado, o desejo um julgamento sobre o que procurar, o amor um julgamento sobre o que é digno de ser amado... Nesse sentido, a razão se confunde com o próprio pensamento. É até confuso, para todos, consigo mesmo, pois ninguém pode julgar sua razão sem voltar a agir: mesmo aqueles que estão acostumados a reclamar do que foi dado a eles nunca reivindicam, nota Descartes, uma razão de melhor qualidade: pois isso equivaleria a desqualificar essa afirmação conforme a expressam. -/- Coextensiva com o pensamento, a razão está em nós como uma luz natural. Como a luz do Sol que ilumina a variedade das coisas no mundo sem perder sua identidade, permanecendo a mesma luz, o pensamento julgador mantém sua unidade sem nunca se quebrar ou se perder, seja qual for os objetos aos quais se aplica: seja o que for que eu julgue, é sempre eu quem julgo. A ciência deve ser difundida mediante essa ideia, isto é, como um certo modo de julgar, ou pensar, e não dá diversidade de seus objetos. -/- -/- Rejeitar as opiniões recebidas, e julgadas boas porque foram recebidas, é recuperar o poder soberano de julgar aquilo que até então passou despercebido. Colocar a razão no tribunal não é uma novidade, mas uma revolução no sentido estrito, isto é, um retorno. A razão é o senso comum, o poder, não apenas para julgar, mas julgar bem, para distinguir o verdadeiro do falso. Julgar mal, tomar o falso pela verdade, não deve ser dotado de um “poder de julgar mal”, é errado usar nosso poder para julgar bem. A diferença entre o bem e o mal não está no poder, mas no uso desse poder, na maneira de usá-lo, de proceder quando se julga, em uma palavra, o método. É necessário romper com uma aquisição sem método de conhecimento, de acordo com as influências sofridas, e conferir a si mesmo um método firme, que será como o procedimento do tribunal da razão. E como nossa capacidade de comer é saudável por si só, esse método não deve ser tomado como uma técnica destinada para melhorá-lo, para torná-lo mais eficaz, e sim como uma higiene projetada para preservá-lo. -/- Mas onde encontrar as regras desse método? Em um domínio, precisamente, onde nosso poder de regulação ou gerenciamento tem sido relativamente preservado, fazendo com que se possa explorar esse domínio, descobri-lo e extrair dele um procedimento universal. Porque o pensamento sendo esta luz que ilumina de igual forma as variedades de tudo que se apresenta a ela, o que torna-se verdadeiro nesse domínio deve ser de todos os outros. Essa área de referência é o domínio da matemática. -/- V – O MODELO MATEMÁTICO -/- Descartes acredita que é no domínio da matemática e, precisamente da geometria, que os antigos fizeram descobertas difíceis e duradouras. A geometria dos antigos e a dos modernos e, especialmente a de François Viète (1540-1603), acrescentou a análise na matemática, o que denominamos de “álgebra”. A descoberta em 1631 da geometria analítica, que relaciona curvas geométricas com equações algébricas, é também o principal título de fama de Descartes como matemático. No entanto, não devemos superestimar a importância que esta descoberta teve para o próprio Descartes. Seu principal interesse era, em sua opinião, metodológico: permitia libertar a mente para simplificar as técnicas de cálculo. -/- Porque na matemática Descartes é compartilhado entre admiração pelo que eles permitem, e desprezo pelo que fazem com ele. A ideia de facilidade é o motivo comum dessa admiração e desprezo. Matemática é fácil, e sua virtude nos mostrar como o conhecimento é fácil, é fácil para o homem saber tudo o que ele pode saber, desde que o mesmo tenha tempo. Todavia, essa facilidade faz com que a atividade habitual dos matemáticos seja um pouco ridícula, a resolução de “problemas matemáticos”, que Descartes considerava como um mero divertimento, é dificilmente digna de consideração. É novamente em nome desse caso que Descartes mais uma vez repreende os antigos matemáticos por terem dado seus resultados mas obstruindo ou ocultando seu método, a fim de impressionar os crédulos, dificultando a aparência do que não é. O método está em contraste com o essencial do que pode ser aprendido com a matemática. -/- -/- Para identificar corretamente este método, é necessário abstrair os próprios objetos matemáticos (números, figuras etc.), que nos faz acreditar que a matemática é uma ciência especial ao lado das outras ciências, o que nos leva a uma divisão em ramos separados da mesma (aritmética, geometria, álgebra etc.). Então aparece uma matemática universal, consistindo no estudo de “vários relatórios ou proporções” que podem ser encontrados entre quaisquer objetos, para que possamos constituí-los em séries contínuas e deduzi-los uns dos outros, e chegar, daqueles que são conhecidos, àqueles que ainda não estão distantes, tão distantes como estão, tão ocultos como parecem ser. -/- Não há nada difícil em tal conhecimento, há apenas o simples e o complexo, e o tempo necessário para alcançar o complexo mediante o simples. Não há nada difícil porque não há nada oculto: se “conhecer” era a perigosa empreitada de se aventurar na dimensão secreta das coisas, seria necessário um gênio e o uso de poderes ocultos. Mas “conhecer” é um exercício do senso comum que direciona sua luz para tudo que pode esclarecer: é, portanto, suficiente para um método. -/- Nós todos sabemos que as primeiras verdades matemáticas são simples. Mas por que elas são? Porque elas nos contam tudo sem reservas, sem nada opaco, sobre tudo que estão falando e tratando: seu objeto é completamente iluminado, não há a necessidade de voltar à ele para aprofundá-lo indefinidamente, devemos passar para outro. Estas são representações estritamente adequadas ao que elas alegam, para representar o que Descartes denominou de ideais claras e distintas: claro, porque percebemos todos os elementos distintos, porque não podemos confundi-los com os outros. -/- Se a primeira verdade é considerada simples, a segunda, por sua vez, não parece ser assim. Seria, sem dúvida, considerada difícil, reservando uma parte do desconhecido se o enfrentássemos de frente. Mas é apenas complexo, isto é, só podemos entendê-lo depois de ter compreendido o primeiro, e depois entender que não há mais nada para entender no primeiro, e sim passar adiante: basta respeitar essa ordem, que é a ordem do nosso entendimento, para que seja também considerado uma ideia claro e distinta. -/- Até onde podemos prosseguir? Até o fim, de acordo com Descartes, até a conclusão do que podemos saber, uma vez que nossa mente, que agora é ordenada por nosso conhecimento, é limitada: limite claro, limite esse que não é misteriosamente abrigado no mundo ou na espessura da realidade. Abaixo desse limite, nosso conhecimento pode ser perfeito se for metódico. Abaixo do limite, nada oculto, nada profundo, tudo toma o seu lugar nas “longas cadeias de razões”; além do limite, nada escondido, apenas o que é não é nossa responsabilidade. -/- Se não há nada escondido, a realidade que conhecemos não vai além do que sabemos sobre ela. Logo, o método não é apenas uma maneira humana de pedir objetos a nossa conveniência: atribuindo-lhes o seu lugar em nossa ordem, tornando-os claros para nós, envolve-os em seu verdadeiro ser. A revolução cartesiana consiste, então, no fato de que as condições de nosso conhecimento definem a verdade do ser conhecido. -/- Não obstante, sempre perpetua-se uma “dificuldade”, que nada mais é do que o tempo. Se não há a necessidade de o gênio saber perfeitamente, leva tempo para ir do simples ao complexo. O homem só pode saber se tem tempo, muito tempo antes dele: essa preocupação para com a necessidade de tempo, retorna com uma obsessão sob a caneta e a perspectiva de Descartes. Essa necessidade, então, de ter tempo diferencia radicalmente, como veremos, o problema do conhecimento e da ação, da conduta a ser mantida na vida, da moralidade, uma vez que “as ações da vida muitas vezes não sofrem demora...”. -/- VI – REGRAS DO MÉTODO: OS QUATRO PRECEITOS -/- Podemos agora compreender os quatro preceitos aos quais, segundo Descartes, o método é reduzido (Discurso, segunda parte). -/- VI.I - Regra de evidência -/- O primeiro era de nunca aceitar coisa alguma como verdadeira sem que a conhecesse evidentemente como tal; ou seja, evitar cuidadosamente a precipitação e a prevenção, e não incluir em meus juízos nada além daquilo que se apresentasse tão clara e distintamente a meu espírito, que eu não tivesse nenhuma ocasião de pô-lo em dúvida (DESCARTES, 1996. p. 23). -/- Mesmo que sua declaração o duplique, é de fato um mesmo preceito acerca do que deve ser concebido como verdadeiro. Receber com método é esperar até que a coisa se apresente para ele: essa paciência, esse “cuidado”, remove os preconceitos característicos das ideias recebidas antes da hora, a precipitação e a prevenção que fazem parecer obscuro o que é o tempo. Se, nessa apresentação para ele, ele tomou um cuidado de aderir (nada mais) ao que é claro e distinto, é sem reserva que uma “coisa” pode ser recebida, sem poder surgir o risco, a “oportunidade”, de ter que voltar mais tarde: ele teria visto a sua verdade, e está evidência foi o suficiente para que ele pudesse duvidar disso. -/- VI.II - Regra de análise -/- “O segundo, dividir cada uma das dificuldades que examinasse em tantas parcelas quantas fosse possível e necessário para melhor resolvê-las” (DESCARTES, 1996. p. 23). Ora, o que é apresentado como difícil de examinar, na verdade não o é, é apenas complexo, composto de múltiplas parcelas. Quantas parcelas? É a resolução da dificuldade que deve decidir essa questão: quando um matemático consegue estabelecer um teorema “difícil”, ligando-o às proposições mais simples por uma cadeia contínua de deduções, ele sabe que não há mais nada a saber em seu objeto, que contém exatamente tantas divisões quantas forem necessárias para formar está série. Logo, não precisamos nos preocupar com mais nada. -/- VI.III - Regra de ordem -/- O terceiro, conduzir por ordem meus pensamentos, começando pelos objetos mais simples e mais fáceis de conhecer , para subir pouco a pouco, como por degraus, até o conhecimento dos mais compostos; e supondo certa ordem mesmo entre aqueles que não se precedem naturalmente uns aos outros (DESCARTES, 1996. p. 23). -/- Essa é a ordem, de acordo com os pensamentos de Descartes, o que pode ser visto no fato de que, entre os objetos mais simples e os mais complexos, a distinção está na ordem de facilidade, isto é, os primeiros são os mais fáceis de saber, enquanto o segundo, por sua vez, só pode ser conhecido quando dominamos a totalidade do primeiro. O importante é passar de um para o outro como por graus, numa série contínua, sem estar diante de um hiato como o conhecimento prévio não seria suficiente para deixar claro o novo conhecimento. E desde que está ordem de razões, fixando cada objeto em seu devido lugar, nos entrega em sua totalidade, é também a ordem objetiva, a ordem dos próprios objetos, tanto que não devemos hesitar em supor isso entre eles, mesmo quando o modo como se apresentam não revela ordem. -/- VI.IV - Regra de enumeração -/- “E, o último, fazer em tudo enumerações tão completas, e revisões tão gerais, que eu tivesse certeza de nada omitir” (DESCARTES, 1996. p. 23). Omitir alguma coisa séria destruir o próprio princípio da ordem das razões, uma vez que qualquer objeto só pode ser visto clara e distintamente se todos que o precederam também tiverem sido vistos em seu lugar. Se a dedução atingir este objeto, significa que nada foi omitido até então. Porém, quando a dedução torna-se muito longa, torna-se, também, mais difícil de mantê-la inteira, como deveria, sob o olhar da mente; somos então tentados a confiar apenas em sua memória. O preceito de enumeração não deve ser entendido como uma preocupação retrospectiva (certifique-se de que nada o tenha esquecido), mas no sentido atual, como os meios de manter em mente todas as evidências do passado necessárias para a evidência presente. Dos quatro preceitos do método, é o único a ter um caráter de técnica e não de simples higiene: é aqui que se confronta a única dificuldade real do conhecimento, o fato de que leva tempo, e sua consequência, recorrer à memória, à faculdade pela qual as velhas ideias descartenses foram “concebidas em sua dívida”. -/- -/- VII – O MÉTODO EXIGE UM FUNDAMENTO METAFÍSICO -/- O método permite responder à uma questão: do que tenho certeza? É certo que homens que seguem ideias aceitas também conhecem esse estado psicológico chamado “certeza”. Todavia, entre esse estado psicológico e a verdadeira certeza do conhecimento metódico, há uma diferença de que o primeiro está imune a “oportunidades” de duvidar, já que ele não tem autoconfiança. Toda oportunidade de dúvida que se apresenta transformaria essa “certeza” em incerteza: por isso que é sensato duvidar em princípio das opiniões recebidas, sem esperar, por assim dizer, oportunidades de duvidar, e decretar antecipadamente seu conteúdo incerto, não necessariamente substituí-lo por outro conteúdo, mas aceitar apenas o que lhe fora assegurado. -/- Poderia ser o mesmo com a certeza do conhecimento metódico? Pode ser apresentado a ele como uma oportunidade para duvidar, e seria sábio também duvidá-lo antecipadamente, submetendo-o a uma dúvida de princípio? Seria então uma dúvida muito diferente da anterior. Descartes exclamou que: “Se alguma vez duvidei um dia do que me aperfeiçoei seguramente, tal dúvida deveria permanecer fora da certeza: não a destruiria, nem mesmo a enfraqueceria, a colocaria em suspenso no vazio; ele não sugeriria para mim que eu talvez esteja menos certo do que pensava, mas sim que posso estar errado em ter tanta certeza. Eu vou manter minha certeza enquanto duvidoso, porque não haveria nenhuma esperança para eu encontrar melhor do que ela: minha única esperança seria descobrir que ela é verdadeiramente fundamentada, que eu confio com razão, e não porque eu não posso contrário.” -/- Mas por que uma oportunidade para duvidar dessa maneira? A própria razão, na medida em que é incontestavelmente autoritária, deve levantar essa dúvida por sua própria autoridade. É porque é autoritária que tem o direito de se perguntar sobre o que o autoriza, sobre o que o investe com tal autoridade. Afinal, a certeza de sua autoridade é uma certeza, que não pode ser classificada entre as certezas que ela nos ensina, uma vez que reconhecemos essa autoridade. -/- Por isso, é importante encontrar, para essa certeza, um fundamento para abrigá-lo, de uma vez por todas, desta suspeita sobre si mesmo. A busca por esse fundamento deve ser metódica, mas deve ao mesmo tempo abalar nossa confiança no método, a fim de encontrar o que o justifica. Essa busca paradoxal é o que Descartes denomina de "metafísica". Desdobra-se principalmente nas seis Meditações da Primeira Filosofia de 1641, geralmente chamadas de Meditações Metafísicas. Seu exame pode ser dividido em duas partes: -/- • o primeiro diz respeito à dúvida e ao seu trabalho; • o segundo diz respeito à fundação de certas ciências, ou seja, a existência de um Deus verdadeiro. -/- REFERENCIAL TEÓRICO -/- DESCARTES, R. Discurso do método. Trad. Maria Ermantina Galvão. 2ª ed. São Paulo: Martins Fontes, 1996. ______________. Discurso do método. Coleção Os pensadores, vol. XV. Trad. J. Guinsburg e Bento Prado Jr. 1ª ed. São Paulo: Abril Cultural, 1973. -/- Estimule a criatividade, respeite o direito autoral. -/- Emanuel Isaque Cordeiro da Silva © 2019. (shrink)

“Medico, filosofo e matematico di gran dottrina et inventione, raro nel’architettura, erudito di lettere greche, che ha già composto molti libri di proprio e non alieno intelletto”, così Federico Cesi, il princeps dell’Accademia dei Lincei, presentò nel 1612 a Galileo il nuovo adepto Nicola Antonio Stigliola, conterraneo e compagno di gioventù Giordano Bruno.

Postmodern thought has focused itself on the critique of modern epistemology that was founded on a clear distinction between the knowing subject and the object of knowledge. For postmodern thought such a distinction is non-existent or dubious at best. Postmodernism has carried to its logical conclusion the postulates of structuralism; therefore, for postmodern thought there is no general intrinsic meaning in a fact of thing, but there are only particular ways for attributing meaning to such facts and things. Hereunder, we (...) attempt to trace the genealogy of postmodern thought on the history and philosophy of science, because science, traditionally regarded as the summit of knowledge and rationality by modern epistemology, has not been immune to the wholesale critique practiced by this new school of philosophical cynicism that we call postmodernism. (shrink)

Para favorecer la interacción disciplinar y recuperar la dimensión práctica del conocimiento matemático en la escuela secundaria, Yves Chevallard plantea la necesidad de introducir en los programas de estudio la matemática mixta. La matemática mixta, cuyo apogeo tuvo lugar en Europa entre los siglos XVI y XVIII, se propone el abordaje de problemas surgidos por fuera de la propia matemática valiéndose de nociones mecánicas -como la de centro de gravedad y fuerza centrífuga- y del empleo de variados instrumentos para (...) realizar las construcciones requeridas. En este trabajo consideramos a la matemática mixta en la cultura matemática de la segunda mitad del siglo XVII y, en dicho contexto, presentamos dos casos de la práctica matemática de G. W. Leibniz en los que la investigación matemática involucra el diseño de máquinas. La consideración de tales casos permite situar a la matemática mixta, siguiendo la terminología de Ian Hacking, en un terreno medio entre representar e intervenir. El terreno medio entre representar e intervenir es un valle fértil donde la matemática aporta a, y se nutre de, una multiplicidad de otros dominios. También es una vía de acceso para historizar el conocimiento matemático, destacando las condiciones materiales para su desarrollo y el importante rol de los problemas. Palabras clave: Práctica matemática, Resolución de problemas, Siglo XVII, Máquinas, Cultura material. (shrink)

En este trabajo matemático-filosófico se estudian cuatro tópicos de la Lógica matemática: El método de construcción de modelos llamado Ultraproductos, la Propiedad de Interpolación de Craig, las Álgebras booleanas y los Órdenes parciales separativos. El objetivo principal del mismo es analizar la importancia que tienen dichos tópicos para el estudio de los fundamentos de la matemática, desde el punto de vista del platonismo matemático. Para cumplir con tal objetivo se trabajará en el ámbito de la Matemática, de la (...) Metamatemática y de la Filosofía de la matemática. El desarrollo de la investigación arrojó como resultado que tales tópicos son muy importantes para el estudio de los fundamentos de la matemática, desde el punto de vista del platonismo matemático, y en el trabajo se explica detalladamente con abundantes ejemplos el porqué (al final de cada sección y al final del mismo). (shrink)

RESUMEN: El tema de este trabajo es la reconstrucción de la teoría de la selección natural darwiniana. Me propongo esbozar la ley fundamental de esta teoría de manera informal a partir de sus aplicaciones en El origen de las especies de Darwin y presentar sus conceptos fundamentales. Presentaré la red teórica de leyes especiales que surgen de la especialización de esta ley fundamental. Supondré el estructuralismo como marco metateórico. Señalaré también algunas consecuencias que mi propuesta tiene sobre ciertas discusiones (...) metateóricas en torno a la teoría y, finalmente, relacionaré mi reconstrucción con otras reconstrucciones disponibles.ABSTRACT: This paper is about the reconstruction of the Darwinian Theory of Natural Selection. My aim here is to outline the fundamental law of this theory in an informal way from its applications in The Origin of Species and to make explicit its fundamental concepts. I will introduce the theory-nets of special laws that arisefrom the specialization of the fundamental law. I will assume the metatheoretical structuralist frame. I will also point out many consequences that my proposal has about a few metatheoretical discussions around the theory and, finally, I will relate my propose to other reconstructions available. (shrink)

-/- Este artículo analiza la posible superación teórica de la escisión moderna entre sujeto y objeto, por un lado, y delimita teóricamente la relación entre estas nociones, por el otro. Para tales propósitos, los autores se -/- fundamentan teóricamente en las propuestas de la hermenéutica de Wilhelm Dilthey y del estructuralismo de -/- Michel Foucault, tanto en su semejanzas (en el ámbito -/- de lo vivencial y el análisis de lo vivido, así como en su -/- preocupación por establecer (...) un ámbito de estudio en las -/- ciencias del espíritu) como en sus diferencias (pues el -/- primero propone la síntesis en la vivencia, mientras el -/- otro el análisis de lo vivido). (shrink)

Tres conceptos metacientíficos objeto de análisis filosófico son los de ley, modelo y teoría. El objetivo de este artículo es presentar la elucidación de estos conceptos, y de sus relaciones, hecha dentro del marco del Estructuralismo Metateórico o Sneediano (BALZER; MOULINES & SNEED, 1987), y de su aplicación a un caso del ámbito de la Biología: la Genética Clásica. El análisis realizado posibilitará fundamentar, en contra de lo que sostienen algunos filósofos de la ciencia en general y de la (...) biología en particular, las siguientes afirmaciones: a) que hay “leyes” en las ciencias biológicas, b) que muchos de los heterogéneos y distintos “modelos” de la Biología pueden ser acomodados bajo alguna “teoría”, y c) que justamente esto es lo que les confiere a las teorías biológicas su gran poder unificador. (shrink)

Este artículo realiza un análisis de los poemas de Luis Cernuda y Federico García Lorca que pertenecen a la generación del 27, un grupo de escritores españoles que surgió a inicios del siglo XX, que se distingue por la inmediata accesibilidad que suscitan para los lectores de su época, ya que adaptaron adecuadamente la poética del modernismo literario, que se opuso al determinismo y el estructuralismo estáticos del lenguaje como expresión. El propósito de este estudio es percibir las variantes, (...) producto de la contrastación de categorías, que se patentizan a partir de la extracción de los tópicos propios de los versos, para después corroborar con los paradigmas inmanentes del surrealismo, que están expuestos en los manifiestos de André Bretón, junto con la cosmovisión que adoptan Octavio Paz y Paul Illie. (shrink)

Al tratar de disolver la neta separación entre una mente racional y la materia inerte abogada por el dualismo Cartesiano, el monismo lucha por reunificar estas distintas realidades ontológicas. Tal como para Claude Lévi-Strauss y Baruch Spinoza, esa dicha unificación no puede prescindir de la trascendencia de la mente humana como locus del pensamiento y conocimiento de la naturaleza externa. A través de una discusión entre las abstracciones de la etnología Amerindia (animismo-perspectivismo), las teorizaciones del estructuralismo y las relaciones (...) que estos tienen con algunas especulaciones filosóficas occidentales, este artículo trata de analizar las intricadas interacciones humano-naturaleza entre los Shuar de la Amazonía Ecuatoriana. De esta forma, se argumenta que las realidades metafísicas de las experiencias oníricas y visionarias están ontológicamente determinadas por el grado de intensidad de contacto que los humanos establecen con las subjetividades materiales del ecosistema. (shrink)

Esta enciclopédia abrange, de uma forma introdutória mas desejavelmente rigorosa, uma diversidade de conceitos, temas, problemas, argumentos e teorias localizados numa área relativamente recente de estudos, os quais tem sido habitual qualificar como «estudos lógico-filosóficos». De uma forma apropriadamente genérica, e apesar de o território teórico abrangido ser extenso e de contornos por vezes difusos, podemos dizer que na área se investiga um conjunto de questões fundamentais acerca da natureza da linguagem, da mente, da cognição e do raciocínio humanos, bem (...) como questões acerca das conexões destes com a realidade não mental e extralinguística. A razão daquela qualificação é a seguinte: por um lado, a investigação em questão é qualificada como filosófica em virtude do elevado grau de generalidade e abstracção das questões examinadas (entre outras coisas); por outro, a investigação é qualificada como lógica em virtude de ser uma investigação logicamente disciplinada, no sentido de nela se fazer um uso intenso de conceitos, técnicas e métodos provenientes da disciplina de lógica. O agregado de tópicos que constitui a área de estudos lógico-filosóficos é já visível, pelo menos em parte, no Tractatus Logico-Philosophicus de Ludwig Wittgenstein, uma obra publicada em 1921. E uma boa maneira de ter uma ideia sinóptica do território disciplinar abrangido por esta enciclopédia, ou pelo menos de uma porção substancial dele, é extrair do Tractatus uma lista dos tópicos mais salientes aí discutidos; a lista incluirá certamente tópicos do seguinte género, muitos dos quais se podem encontrar ao longo desta enciclopédia: factos e estados de coisas; objectos; representação; crenças e estados mentais; pensamentos; a proposição; nomes próprios; valores de verdade e bivalência; quantificação; funções de verdade; verdade lógica; identidade; tautologia; o raciocínio matemático; a natureza da inferência; o cepticismo e o solipsismo; a indução; as constantes lógicas; a negação; a forma lógica; as leis da ciência; o número. (shrink)

Existen conceptos clave en las diversas ciencias (ya sean formales, naturales, biosociales o sociales) como “teoría” o “modelo” que están aún hoy sujetos a un amplio debate epistemológico, i.e. desde la teoría del conocimiento, y centrada en el estudio del conocimiento científico en particular. Los científicos, pues, construyen y utilizan diferentes nociones que cargan tras de sí realmente con un exhaustivo debate extracientífico sobre su naturaleza. En este trabajo se ofrecerán algunas aclaraciones y propuestas formales de definición sobre tales nociones (...) desde la filosofía de la ciencia del astrofísico y filosofo Gustavo Esteban Romero (G. E. Romero). En concreto se ensayaran unas definiciones formales de “teoría” y “modelo”, para las ciencias actuales (y otras disciplinas pasibles de su aplicación), y se contextualizarán estas ideas en el debate sobre la estructura y organización de los saberes científicos. (shrink)

En economía, la investigación se divide en dos grandes metodologías: los modelos teórico-matemáticos y los estudios empíricos. Estudiando modelos teóricos y métodos empíricos ) se da cuenta de las limitaciones de ambos métodos. Se concluye que ninguno de estos puede generar explicaciones de cómo en realidad suceden las cosas, sino que solo de cómo posiblemente suceden. La razón es que ambos necesitan un enlace interpretativo que permita extrapolar desde su propio sistema hacia un sistema objetivo. Los modelos tienen dominio general (...) y pueden dar cuenta de mecanismos. Los RCTs, al contrario, son válidos internamente y están conectados al mundo real, pero su dominio es muy específico. Aunque ninguno logre responder preguntas amplias de un fenómeno de interés, pueden complementarse para generar extrapolaciones más confiables sobre un sistema objetivo. Sin embargo, esto solo podrá hacerse si se conocen bien los mecanismos y el contexto en que ocurre una evidencia. Palabras clave: Causalidad, Mecanismos, Capacidades, Epistemología de la Economía, Generalización de Evidencia. (shrink)

É bem conhecida a divergência entre as posições de Gottlob Frege e Bertrand Russell com relação ao tratamento semântico dado a sentenças contendo termos singulares indefinidos, ou seja, termos singulares sem referência ou com referência ambígua, tais como ‘Papai Noel’ ou ‘o atual rei da França’ ou ‘1/0 ’ ou ‘√4’ ou ‘o autor de Principia Mathematica’. Para Frege, as sentenças da linguagem natural que contêm termos indefinidos não formam declarações e portanto não são nem verdadeiras nem falsas. Já para (...) as sentenças da matemática, Frege defende que elas precisam ser corrigidas através da convenção forçada de uma referência não ambígua. Russell, por outro lado, aceita os termos indefinidos e propõe, através de sua teoria das descrições definidas, uma maneira de avaliar as sentenças em que eles ocorrem; e Quine amplia a teoria de Russell para abranger também os nomes com problemas de referência. Na prática da matemática são comuns os termos singulares indefinidos, sem referência, tais como ‘1/0 ’, ou com referência ambígua, tais como ‘√4’. Apesar de não haver uma sistematização rigorosa desta situação entre os matemáticos, há, no entanto, um conjunto de regras convencionais que tradicionalmente costumam ser aplicadas no tratamento matemático dos termos indefinidos. Nossa proposta é tomar a convenção matemática como inspiração e modelo para apresentar uma interpretação semântica formal para as descrições definidas e os nomes e utilizá-la como um argumento que favorece a abordagem de Russell relativamente à de Frege. (shrink)

En las dos entregas anteriores abordamos el inicio de la evolución del pensamiento matemático, desde el uso de herramientas matemáticas para problemas de cálculo concreto en la antigua Babilonia, pasando por el inicio de las matemáticas abstractas, las demostraciones y el nacimiento de la “geometría por la geometría” desde la visión religioso-filosófica de Platón y los pitagóricos, hasta la síntesis de ambas visiones en las matemáticas de la India, China y el mundo árabe, que fue la puerta de entrada (...) de las matemáticas a Europa, alrededor del siglo XV. (shrink)

No ensaio “Wittgenstein on mathematics”, publicado no Oxford Handbook of Wittgenstein, Michael Potter procura não apenas analisar por que a filosofia da matemática de Wittgenstein é tão controvertida entre filósofos e matemáticos como justificar essa situação. Com esse intuito, Potter enfatiza o caráter inacabado das reflexões de Wittgenstein sobre a matemática. Neste artigo, tem-se por objetivo explicitar algumas inconsistências e contradições no pensamento matemático de Wittgenstein que ratificam as críticas que esse autor vem recebendo há décadas, mas que não (...) tiveram a mesma atenção dos especialistas que os comentários de Wittgenstein sobre os teoremas da incompletude de Kurt Gödel e suas discussões com Alan Turing sobre os fundamentos da matemática. (shrink)

Este es un ensayo homenaje a Ernesto Sábato, quien además de un connotado novelista fue un acérrimo crítico de la ciencia moderna y contemporánea, al plantear que reducir toda la realidad a las matemáticas ha favorecido la deshumanización y maquinización de la naturaleza y del hombre. Sin embargo, la tesis que se defiende aquí es que Sábato no fue igualmente perspicaz previendo de qué forma la Inteligencia Artificial clásica podría representar el pináculo de la deshumanización del hombre, pues esta considera (...) que la mente y la inteligencia de este como funciones de una simple máquina programada, i.e., como un producto de engranajes sintáctico-matemáticos cuya implementación material es ajena a los contextos. En efecto, la etapa final de la deshumanización denunciada por Sábato no podría haber ocurrido sin que se hubiese considerado que la propia mente no es más que una computadora, es decir, una máquina programada. (shrink)

La presente investigación tiene como propósito general asumir un posicionamiento filosófico en clave histórico-social y de tipo anti-relativista para analizar el desarrollo histórico de la matemática, el cual aplicaremos a un caso en particular: la matemática del antiguo Egipto. Para ello se discutirán y criticarán, en primera instancia, determinadas posiciones filosóficas afines al cuasi-empirismo en matemática que, siendo relativistas, permitirán delinear nuestro propio posicionamiento en contraste: la existencia de una «matemática situada». Esta categoría filosófica tendrá como sustento teórico la noción (...) de conocimiento situado. Además, las implicaciones de esta son, según sostenemos, tanto filosóficas como historiográficas, ya que servirá para analizar las características del corpus de problemas matemáticos egipcios registrados en los diversos papiros matemáticos. En particular, haremos referencia a las expresiones lingüísticas egipcias para denotar las diversas operaciones aritméticas y el carácter algorítmico de los problemas, así como también la cuestión epistemológica de la empiria y cómo la perspectiva situada permite superar la dicotomía entre una matemática pura y otra aplicada, que consideramos no es ubicua para abordar la interpretación de la práctica matemática del antiguo país del Nilo. Palabras clave: Filosofía de la matemática, Anti-relativismo, Matemática situada, Extrañeza del pasado, Matemática egipcia. (shrink)

Ultrafilters are very important mathematical objects in mathematical research [6, 22, 23]. There are a wide variety of classical theorems in various branches of mathematics where ultrafilters are applied in their proof, and other classical theorems that deal directly with ultrafilters. The objective of this article is to contribute (in a divulgative way) to ultrafilter research by describing the demonstrations of some such theorems related (uniquely or in combination) to topology, Measure Theory, algebra, combinatorial infinite, set theory and first-order logic, (...) also formulating some updated open problems of set theory that refer to non-principal ultrafilters on N, the Mathias’s model and the Solovay’s model. -/- Resumen: Los ultrafiltros son objetos matemáticos muy importantes en la investigación matemática [6, 22, 23]. Existen una gran variedad de teoremas clásicos en diversas ramas de la matemática donde se aplican ultrafiltros en su demostración, y otros teoremas clásicos que tratan directamente sobre ultrafiltros. El objetivo de este artículo es contribuir (de una manera divulgativa) con la investigación sobre ultrafiltros describiendo las demostraciones de algunos de tales teoremas relacionados (de manera única o combinada) con topología, teoría de la medida, álgebra, combinatoria infinita, teoría de conjuntos y lógica de primer orden, formulando además algunos problemas abiertos actuales de la teoría de conjuntos que se refieren a ultrafiltros no principales sobre N, al Modelo de Mathias y al Modelo de Solovay. (shrink)

Es común escuchar que el mundo Occidental debe a los árabes el descubrimiento del álgebra. No obstante, el desarrollo de esta disciplina puede interpretarse como un crisol de distintas tradiciones científicas que fue posible gracias a la clasificación, traducción y crítica tanto de los clásicos como de las obras que los árabes obtuvieron de los pueblos que conquistaron. Entre estos trabajos se encontraba Los Elementos de Euclides. Los Elementos fueron cuidadosamente traducidos durante el califato de Al-Ma’mūn por el matemático (...) Mohammed ibn-Musa Al-Khwārizmī, autor de Al-jabr wa’l muqābalah, quien sentó los fundamentos de la disciplina que más tarde sería conocida como álgebra y quien, en la primera parte de su obra, nos proporciona tres métodos para resolver tres tipos de ecuaciones que llama “ecuaciones combinadas”. A lo largo de este artículo se ofrecen argumentos para sostener que los métodos para resolver estas ecuaciones constituyen una reinterpretación, en el terreno algebraico, de los teoremas 6, 7 y 8 del segundo libro de Los Elementos de Euclides. Mi objetivo es dar respuesta a la siguiente pregunta: ¿Qué lectura de Los elementos Euclides posibilitó la emergencia del álgebra en el mundo árabe? Para responderla necesario explorar el acercamiento que los árabes tuvieron con el Libro II de Los Elementos, con el fin de proponer una interpretación de los posibles factores que los llevaron a formular el álgebra. Esto último, en particular, se encuentra en la primera parte de la obra de Al-Khwārizmī. Palabras clave: Álgebra, Al-Khwārizmī, Euclides, Ecuación, Teorema. (shrink)

La lógica matemática es matemática en cuanto que usa herramientas matemáticas. En este sentido, la lógica matemática es matemática en el mismo sentido que lo es, digamos, la mecánica newtoniana. En ambos casos, el método es matemático, pero las ciencias mismas no lo son, pues su objeto de estudio pertenece a una realidad objetiva e independiente. En particular, las herramientas matemáticas que usa la lógica simbólica contemporánea —tanto en su simbolismo como en su cálculo— se crearon originalmente para el (...) desarrollo algebraico de la geometría, y luego fueron adaptadas al resto de las matemáticas y la lógica. A estas herramientas se les llama formales, pues permiten el cálculo con formas generales. (shrink)

O ficcionalismo, geralmente classificado como um tipo de nominalismo, apresenta como perspectiva precípua a tese de que os entes matemáticos são ficções. Para o ficcionalista, o discurso matemático é desprovido de conteúdo. Hartry Field, que é o principal defensor dessa concepção ontológica da matemática, contesta, em Science Without Numbers, a utilização de entes matemáticos na redação de teorias da física, alegando que a defesa mais plausível do realismo ontológico matemático é o argumento da indispensabilidade de Quine-Putnam. O ficcionalismo (...) defendido por Field nos permite, de acordo com Shapiro, classificá-lo no grupo filosofia-primeiro, ou seja, entre os filósofos que defendem que a filosofia deve ser responsável por legislar a respeito da prática matemática. Dessa forma, podemos considerar Field um revisionista epistemológico. Como se sabe, a dependência da ciência moderna em relação ao discurso matemático coloca a tese ficcionalista em xeque. Ainda assim, se partirmos dos pressupostos filosóficos da vertente formalista da filosofia da matemática, que concebe a matemática como constituída de um conjunto de regras sem significado que podem ser manipuladas de maneira puramente sintática, poderemos traçar importantes analogias entre matemática e ficção, tal como também entre metamatemática e metaficção. Para um formalista simpático à tese ficcionalista, o estatuto ontológico da matemática é semelhante ao das regras de um jogo de xadrez. (shrink)

En este artículo realizamos una reconstrucción del Programa original de Hilbert antes del surgimiento de los teoremas limitativos de la tercera década del siglo pasado. Para tal reconstrucción empezaremos por mostrar lo que Torretti llama los primeros titubeos formales de Hilbert, es decir, la defensa por el método axiomático como enfoque fundamentante. Seguidamente, mostraremos como estos titubeos formales se establecen como un verdadero programa de investigación lógico-matemático y como dentro de dicho programa la inquietud por la decidibilidad de los (...) problemas matemáticos y en específico la decidibilidad de la Lógica de primer orden cobra peso. Luego pasamos a analizar como la inquietud por la decibilidad toma lugar dentro del pensamiento filosófico-matemático de Hilbert presentándose como uno de los grandes problemas a los cuales la metamatemática debe encontrar una solución, esto lo hacemos mostrando un contraste con autores, como John von Neumann y Roberto Torretti, quienes de alguna u otra manera no interpretan el problema de la decidibilidad de la Lógica de primer orden como un problema de peso dentro del programa original de Hilbert. Finalmente argumentamos que el resultado meta-teórico de Church puede entenderse como una refutación del optimismo intelectual que permea a todo el programa original de Hilbert. (shrink)

El estudio de los "cardinales grandes" es uno de los principales temas de investigación de la teoría de conjuntos y de la teoría de modelos que ha contribuido con el desarrollo de dichas disciplinas. Existe una gran variedad de tales cardinales, por ejemplo cardinales inaccesibles, débilmente compactos, Ramsey, medibles, supercompactos, etc. Tres valiosos teoremas clásicos sobre cardinales medibles son los siguientes: (i) compacidad débil, (ii) Si κ es un cardinal medible, entonces κ es un cardinal inaccesible y existen κ cardinales (...) inaccesibles menores que κ , y (iii) Si existe un cardinal medible, entonces el axioma de constructibilidad (V=L) es falso. El objetivo de este artículo es presentar una demostración de cada uno de estos tres teoremas en el contexto de la teoría de modelos usando ideas del texto de Chang y Keisler (Model Theory). Tales demostraciones tienen en común el uso del método de construcción de modelos llamado ultraproductos, de lógicas infinitarias o fragmentos de la lógica de segundo orden, y del axioma de elección. Cardinales grandes y/o ultraproductos son importantes en teoría de conjuntos, teoría de modelos, análisis matemático, teoría de la medida, probabilidades, topología, análisis funcional, física, teoría de números, finanzas, etc. (shrink)

In this paper the relations between the almost unknown Spanish mathematician Ventura Reyes Prósper (1863-1922) with Charles S. Peirce and Christine Ladd-Franklin are described. Two brief papers from Reyes Prósper published in El Progreso Matemático 12 (20 December 1891), pp. 297-300, and 18 (15 June 1892) pp. 170-173 on Ladd-Franklin, and on Peirce and Mitchell, respectively, are translated for first time into English and included at the end of the paper.

Abstract. El objetivo de este documento es elucidar el papel de las idealizaciones en el conocimiento matemático inspirado por algunas ideas del filósofo neo-kantiano Ernst Cassirer. Usualmente, en la filosofía de la ciencia contemporánea se da por hecho que el tema de la idealización se refiere únicamente a las idealizaciones en las ciencias empíricas, en particular en la física. Por el contrario, Cassirer afirmó que la idealización de las matemáticas, así como en las ciencias tiene la misma base conceptual (...) y epistemológica. Precisamente, su "tesis de la identidad" es analizada al investigar una variedad de ejemplos de idealizaciones tomadas del álgebra, la topología, la teoría de red y la geometría física. Las idealizaciones en matemática, así como en el conocimiento físico se puede caracterizar por la introducción de elementos ideales que conducen a completaciones. En ambas áreas estos elementos ideales desempeñan esencialmente el mismo papel, es decir, sustituyen una variedad incompleta de objetos mediante una variedad conceptual completa “idealizada. (shrink)

Es conocido que el método de forcing es una de las técnicas de construcción de modelos más importantes de la Teoría de conjuntos en la actualidad, siendo el mismo muy útil para investigar problemas de matemática y/o de fundamentos de la matemática. El destacado matemático Joan Bagaria afirma lo siguiente sobre el método de forcing en su artículo "Paul Cohen y la técnica del forcing" (Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, Vol. 2, Nº 3, 1999, págs 543-553) : (...) "Aunque Cohen recibió la medalla Fields por su demostración de la independencia de la hipótesis del continuo y del axioma de elección, su contribución va mucho más allá de estos problemas. Su nuevo método, el forcing, no sólo ha permitido resolver un sinfín de problemas importantes en prácticamente todas las áreas de las matemáticas, si no que ha cambiado para siempre nuestra concepción de la matemática como ciencia". El objetivo principal del siguiente trabajo es estudiar el método de forcing describiendo algunas de sus aplicaciones (forcing de Cohen, forcing aleatorio, forcing de Mathias, forcing de Sacks, forcing de Silver, etc.), y ofreciendo una aproximación a sus fundamentos metamatemáticos. Se aspira que estas notas sirvan de apoyo para aprender dicho método. (shrink)

Es conocido que el Teorema de Completitud de Gödel, el Teorema del Colapso Transitivo de Mostowski y el Principio de Reflexión son resultados muy útiles en las investigaciones de Lógica matemática y/o los Fundamentos de la matemática. El objetivo de este trabajo es presentar algunas demostraciones clásicas de tales resultados: Dos del Teorema de Completitud de Gödel, una del Teorema del Colapso Transitivo de Mostowski y una del Principio de Reflexión. Se aspira que estas notas sean de utilidad para estudiar (...) dichas pruebas. Vale la pena resaltar que entre los métodos matemáticos que se utilizan en tales demostraciones se encuentran: (1) La técnica de construcción de modelos a partir de constantes (o "método del conjunto maximal consistente con un conjunto de testigos" de Henkin) y (2) el Principio de inducción matemática en varias versiones [ (2.1) Inducción matemática sobre los números naturales y (2.2) Inducción transfinita ((2.2.1) Inducción transfinita sobre conjuntos bien ordenados cualesquiera, por ejemplo sobre un cardinal infinito Alef_alfa, (2.2.2) Inducción transfinita sobre una clase de conjuntos bien ordenada, por ejemplo sobre la "clase de todos los ordinales, finitos o infinitos", y (2.2.3) Inducción transfinita sobre relaciones bien fundamentadas, por ejemplo sobre la "relación de pertenencia" entre conjuntos)]. (shrink)

El ensayo pretende reconstruir los debates filosóficos franco-alemanes de los años 80. La llegada del pensamiento francés de Derrida, Foucault, Lacan, etc., generó en la filosofía alemana la polaridad asimilación-rechazo. Sostenemos que dicha polaridad es producto del rechazo o integración de las propias tradiciones alemanas que los autores franceses poseen. En consecuencia, creemos que son claves las obras de Manfred Frank sobre el pensamiento francés para entender tanto el debate como sus derivaciones en las discusiones sobre modernidad-posmodernidad, sujeto-no-sujeto, deconstrucción-hermenéutica, racionalidad-irracionalidad.

A distinção entre filosofia e matemática enquanto modos de operação da razão tem presença marcante nos cursos de Lógica de Kant, mas igualmente articula diversas soluções de problemas no interior do pensamento crítico. No entanto, ela data do período pré-crítico, tendo se tornado bem explícita já na obra Investigação sobre a distinção dos princípios da teologia natural e da moral (1764). Quase duas décadas depois, essa distinção será retomada na “Doutrina transcendental do método”, contida na Crítica da razão pura (1781). (...) Ao contrário de Christian Wolff, que propunha uma divisão tripartite do conhecimento, distinguindo conhecimentos históricos, filosóficos e matemáticos, Kant aloca os conhecimentos filosóficos e matemáticos no interior da mesma divisão epistemológica: ambos são conhecimentos racionais. No entanto, um é conhecimento racional por conceitos (filosofia) e outro é conhecimento racional por construção de conceitos (matemática). Por meio dessa distinção e das oposições que ela comporta, Kant vai definir o método de trabalho do filósofo e do matemático e o modo de resolução de problemas específico de cada uma dessas disciplinas. Comparando os dois textos citados acima, pretendemos esclarecer os procedimentos metodológicos concebidos mediante essa distinção, e as respectivas tarefas epistemológicas que ela comporta. (shrink)