Formalizing Euclid’s first axiom. Bulletin of Symbolic Logic. 20 (2014) 404–5. (Coauthor: Daniel Novotný) -/- Euclid [fl. 300 BCE] divides his basic principles into what came to be called ‘postulates’ and ‘axioms’—two words that are synonyms today but which are commonly used to translate Greek words meant by Euclid as contrasting terms. -/- Euclid’s postulates are specifically geometric: they concern geometric magnitudes, shapes, figures, etc.—nothing else. The first: “to draw a line from any point to any point”; the last: the (...) parallel postulate. -/- Euclid’s axioms are general principles of magnitude: they concern geometric magnitudes and magnitudes of other kinds as well even numbers. The first is often translated “Things that equal the same thing equal one another”. -/- There are other differences that are or might become important. -/- Aristotle [fl. 350 BCE] meticulously separated his basic principles [archai, singular archê] according to subject matter: geometrical, arithmetic, astronomical, etc. However, he made no distinction that can be assimilated to Euclid’s postulate/axiom distinction. -/- Today we divide basic principles into non-logical [topic-specific] and logical [topic-neutral] but this too is not the same as Euclid’s. In this regard it is important to be cognizant of the difference between equality and identity—a distinction often crudely ignored by modern logicians. Tarski is a rare exception. The four angles of a rectangle are equal to—not identical to—one another; the size of one angle of a rectangle is identical to the size of any other of its angles. No two angles are identical to each other. -/- The sentence ‘Things that equal the same thing equal one another’ contains no occurrence of the word ‘magnitude’. This paper considers the problem of formalizing the proposition Euclid intended as a principle of magnitudes while being faithful to the logical form and to its information content. (shrink)

Es común escuchar que el mundo Occidental debe a los árabes el descubrimiento del álgebra. No obstante, el desarrollo de esta disciplina puede interpretarse como un crisol de distintas tradiciones científicas que fue posible gracias a la clasificación, traducción y crítica tanto de los clásicos como de las obras que los árabes obtuvieron de los pueblos que conquistaron. Entre estos trabajos se encontraba Los Elementos de Euclides. Los Elementos fueron cuidadosamente traducidos durante el califato de Al-Ma’mūn por el matemático (...) Mohammed ibn-Musa Al-Khwārizmī, autor de Al-jabr wa’l muqābalah, quien sentó los fundamentos de la disciplina que más tarde sería conocida como álgebra y quien, en la primera parte de su obra, nos proporciona tres métodos para resolver tres tipos de ecuaciones que llama “ecuaciones combinadas”. A lo largo de este artículo se ofrecen argumentos para sostener que los métodos para resolver estas ecuaciones constituyen una reinterpretación, en el terreno algebraico, de los teoremas 6, 7 y 8 del segundo libro de Los Elementos de Euclides. Mi objetivo es dar respuesta a la siguiente pregunta: ¿Qué lectura de Los elementos Euclides posibilitó la emergencia del álgebra en el mundo árabe? Para responderla necesario explorar el acercamiento que los árabes tuvieron con el Libro II de Los Elementos, con el fin de proponer una interpretación de los posibles factores que los llevaron a formular el álgebra. Esto último, en particular, se encuentra en la primera parte de la obra de Al-Khwārizmī. Palabras clave: Álgebra, Al-Khwārizmī, Euclides, Ecuación, Teorema. (shrink)

Euclid's classic proof about the infinitude of prime numbers has been a standard model of reasoning in student textbooks and books of elementary number theory. It has withstood scrutiny for over 2000 years but we shall prove that despite the deceptive appearance of its analytical reasoning it is tautological in nature. We shall argue that the proof is more of an observation about the general property of a prime numbers than an expository style of natural deduction of the proof of (...) their infinitude. (shrink)

This manuscript is intended to illustrate the existence of a natural ethic as a universal and special case in which the notion of proximity differs from the reflexively perceived physical notion that is both commonly and scientifically employed. In this case actual proximity in nature is proposed to diverge from the physical lines construed to connect points to be a function of relations of the lines of perception as the components of a universal volume that is energetic and active, an (...) active "line of sight" to a single unique surface composed of all lines of sight, in contrast to a common notion of seeing based on connected points, and emerged as a function of past, transparent to witness, processes, in synergy with the more apparent, temporal and physical proximal , and possesses a logic that is based upon the same mathematical means of operations that are commonly known reflexively. This scheme, the nature of the natural ethic postulated precludes genetic manipulation as unethical in that it violates natural inherent, inherited proximities, synergies of past and present as, in name, nature itself as genetic and emerging. (shrink)

This paper will annoy modern logicians who follow Bertrand Russell in taking pleasure in denigrating Aristotle for [allegedly] being ignorant of relational propositions. To be sure this paper does not clear Aristotle of the charge. On the contrary, it shows that such ignorance, which seems unforgivable in the current century, still dominated the thinking of one of the greatest modern logicians as late as 1831. Today it is difficult to accept the proposition that Aristotle was blind to the fact that, (...) for example, incommensurability is a relation and not a property: that the proposition “In every square, the diagonals are incommensurable with the sides” is relational and not categorical. This paper asks the reader to do something more difficult: to accept the proposition that as late as 1831 De Morgan was blind to the same fact. This paper shows conclusively that in 1831, De Morgan was still in the grips of the allegedly Aristotelian paradigm. (shrink)

It is modernly debated whether application of the free will has potential to cause harm to nature. Power possessed to the discourse, sensory/perceptual, physical influences on life experience by the slow moving machinery of change is a viral element in the problems of civilization; failed resolution of historical paradox involving mind and matter is a recurring source of problems. Reference is taken from the writing of Euclid in which a oneness of nature as an indivisible point of thought is made (...) prerequisite in criteria of interpretation to demonstrate that contemporary scientific methodologies alternately ensue from the point of empirically centered induction. A qualification for conceptualizations is proposed that involves a physically describable form bound to energy in addition to contemporary notions of energy bound to form and a visually based mathematical-physical form is elaborated and discussed with respect to biological and natural processes. (shrink)

Girolamo Saccheri (1667--1733) was an Italian Jesuit priest, scholastic philosopher, and mathematician. He earned a permanent place in the history of mathematics by discovering and rigorously deducing an elaborate chain of consequences of an axiom-set for what is now known as hyperbolic (or Lobachevskian) plane geometry. Reviewer's remarks: (1) On two pages of this book Saccheri refers to his previous and equally original book Logica demonstrativa (Turin, 1697) to which 14 of the 16 pages of the editor's "Introduction" are devoted. (...) At the time of the first edition, 1920, the editor was apparently not acquainted with the secondary literature on Logica demonstrativa which continued to grow in the period preceding the second edition \ref[see D. J. Struik, in Dictionary of scientific biography, Vol. 12, 55--57, Scribner's, New York, 1975]. Of special interest in this connection is a series of three articles by A. F. Emch [Scripta Math. 3 (1935), 51--60; Zbl 10, 386; ibid. 3 (1935), 143--152; Zbl 11, 193; ibid. 3 (1935), 221--333; Zbl 12, 98]. (2) It seems curious that modern writers believe that demonstration of the "nondeducibility" of the parallel postulate vindicates Euclid whereas at first Saccheri seems to have thought that demonstration of its "deducibility" is what would vindicate Euclid. Saccheri is perfectly clear in his commitment to the ancient (and now discredited) view that it is wrong to take as an "axiom" a proposition which is not a "primal verity", which is not "known through itself". So it would seem that Saccheri should think that he was convicting Euclid of error by deducing the parallel postulate. The resolution of this confusion is that Saccheri thought that he had proved, not merely that the parallel postulate was true, but that it was a "primal verity" and, thus, that Euclid was correct in taking it as an "axiom". As implausible as this claim about Saccheri may seem, the passage on p. 237, lines 3--15, seems to admit of no other interpretation. Indeed, Emch takes it this way. (3) As has been noted by many others, Saccheri was fascinated, if not obsessed, by what may be called "reflexive indirect deductions", indirect deductions which show that a conclusion follows from given premises by a chain of reasoning beginning with the given premises augmented by the denial of the desired conclusion and ending with the conclusion itself. It is obvious, of course, that this is simply a species of ordinary indirect deduction; a conclusion follows from given premises if a contradiction is deducible from those given premises augmented by the denial of the conclusion---and it is immaterial whether the contradiction involves one of the premises, the denial of the conclusion, or even, as often happens, intermediate propositions distinct from the given premises and the denial of the conclusion. Saccheri seemed to think that a proposition proved in this way was deduced from its own denial and, thus, that its denial was self-contradictory (p. 207). Inference from this mistake to the idea that propositions proved in this way are "primal verities" would involve yet another confusion. The reviewer gratefully acknowledges extensive communication with his former doctoral students J. Gasser and M. Scanlan. ADDED 14 March 14, 2015: (1) Wikipedia reports that many of Saccheri's ideas have a precedent in the 11th Century Persian polymath Omar Khayyám's Discussion of Difficulties in Euclid, a fact ignored in most Western sources until recently. It is unclear whether Saccheri had access to this work in translation, or developed his ideas independently. (2) This book is another exemplification of the huge difference between indirect deduction and indirect reduction. Indirect deduction requires making an assumption that is inconsistent with the premises previously adopted. This means that the reasoner must perform a certain mental act of assuming a certain proposition. It case the premises are all known truths, indirect deduction—which would then be indirect proof—requires the reasoner to assume a falsehood. This fact has been noted by several prominent mathematicians including Hardy, Hilbert, and Tarski. Indirect reduction requires no new assumption. Indirect reduction is simply a transformation of an argument in one form into another argument in a different form. In an indirect reduction one proposition in the old premise set is replaced by the contradictory opposite of the old conclusion and the new conclusion becomes the contradictory opposite of the replaced premise. Roughly and schematically, P,Q/R becomes P,~R/~Q or ~R, Q/~P. Saccheri’s work involved indirect deduction not indirect reduction. (3) The distinction between indirect deduction and indirect reduction has largely slipped through the cracks, the cracks between medieval-oriented logic and modern-oriented logic. The medievalists have a heavy investment in reduction and, though they have heard of deduction, they think that deduction is a form of reduction, or vice versa, or in some cases they think that the word ‘deduction’ is the modern way of referring to reduction. The modernists have no interest in reduction, i.e. in the process of transforming one argument into another having exactly the same number of premises. Modern logicians, like Aristotle, are concerned with deducing a single proposition from a set of propositions. Some focus on deducing a single proposition from the null set—something difficult to relate to reduction. (shrink)

John Corcoran and George Boger. Aristotelian logic and Euclidean geometry. Bulletin of Symbolic Logic. 20 (2014) 131. -/- By an Aristotelian logic we mean any system of direct and indirect deductions, chains of reasoning linking conclusions to premises—complete syllogisms, to use Aristotle’s phrase—1) intended to show that their conclusions follow logically from their respective premises and 2) resembling those in Aristotle’s Prior Analytics. Such systems presuppose existence of cases where it is not obvious that the conclusion follows from the premises: (...) there must be something deductions can show. Corcoran calls a proposition that follows from given premises a hidden consequence of those premises if it is not obvious that the proposition follows from those premises. By a Euclidean geometry we mean an extended discourse beginning with basic premises—axioms, postulates, definitions—1) treating a universe of geometrical figures and 2) resembling Euclid’s Elements. There were Euclidean geometries before Euclid (fl. 300 BCE), even before Aristotle (384–322 BCE). Bochenski, Lukasiewicz, Patzig and others never new this or if they did they found it inconvenient to mention. Euclid shows no awareness of Aristotle. It is obvious today—as it should have been obvious in Euclid’s time, if anyone knew both—that Aristotle’s logic was insufficient for Euclid’s geometry: few if any geometrical theorems can be deduced from Euclid’s premises by means of Aristotle’s deductions. Aristotle’s writings don’t say whether his logic is sufficient for Euclidean geometry. But, there is not even one fully-presented example. However, Aristotle’s writings do make clear that he endorsed the goal of a sufficient system. Nevertheless, incredible as this is today, many logicians after Aristotle claimed that Aristotelian logics are sufficient for Euclidean geometries. This paper reviews and analyses such claims by Mill, Boole, De Morgan, Russell, Poincaré, and others. It also examines early contrary statements by Hintikka, Mueller, Smith, and others. Special attention is given to the argumentations pro or con and especially to their logical, epistemic, and ontological presuppositions. What methodology is necessary or sufficient to show that a given logic is adequate or inadequate to serve as the underlying logi of a given science. (shrink)

We present an approach in which ancient Greek mathematical proofs by Hippocrates of Chios and Euclid are addressed as a form of (guided) intentional reasoning. Schematically, in a proof, we start with a sentence that works as a premise; this sentence is followed by another, the conclusion of what we might take to be an inferential step. That goes on until the last conclusion is reached. Guided by the text, we go through small inferential steps; in each one, we go (...) through an autonomous reasoning process linking the premise to the conclusion. The reasoning process is accompanied by a metareasoning process. Metareasoning gives rise to a feeling-knowing of correctness. In each step/cycle of the proof, we have a feeling-knowing of correctness. Overall, we reach a feeling of correctness for the whole proof. We suggest that this approach allows us to address the issues of how a proof functions, for us, as an enabler to ascertain the correctness of its argument and how we ascertain this correctness. (shrink)

This paper discusses the 17th-century Latin translation of Proclus’ Commentary on the First Book of Euclid’s Elements, preserved in Madrid, Biblioteca Nacional de España, MS 9871, produced by the Spaniard Vicente Mariner. The author examines the historical context, sources, and motivations behind Mariner’s translation, his intellectual profile, and the potential reasons for translating a mathematical text given his background in literature. Via a comparison of Mariner’s text with the original Greek, this paper delves into Mariner’s translation choices and linguistic nuances (...) to highlight the challenges he faced while translating it. Transcriptions of the collated passage both from Grynaeus’ 1533 editio princeps of Proclus’ text and Mariner’s manuscript are provided in the Appendix. Overall, this paper attempts to shed light on Mariner’s contribution to the Latin reception of Proclus’ work in the early modern period. (shrink)

Euclid’s Elements inspired a number of foundationalist accounts of mathematics, which dominated the epistemology of the discipline for many centuries in the West. Yet surprisingly little has been written by recent philosophers about this conception of mathematical knowledge. The great exception is Imre Lakatos, whose characterisation of the Euclidean Programme in the philosophy of mathematics counts as one of his central contributions. In this essay, we examine Lakatos’s account of the Euclidean Programme with a critical eye, and suggest an alternative (...) picture which builds on his work, but differs in a number of important respects. (shrink)

The debate about the foundations of mathematical sciences traces back to Greek antiquity, with Euclid and the foundations of geometry. Through the flux of history, the debate has appeared in several shapes, places, and cultural contexts. Remarkably, it is a locus where logic, philosophy, and mathematics meet. In mathematical astronomy, Nicolaus Copernicus’s axiomatic approach toward a heliocentric theory of the universe has prompted questions about foundations among historians who have studied Copernican axioms in their terminological and logical aspects but never (...) examined them as a question of mathematical practice. Copernicus provides seven unproved assumptions in the introduction of the brief treatise entitled Nicolaus Copernicus’s draft on the models of celestial motions established by himself, better known as Commentariolus (ca. 1515), published circa 30 years before the final composition of his heliocentric theory (On the revolutions of the heavenly spheres, 1543). The assumptions deal with the renowned Copernican hypothesis of considering the Earth in motion and the Sun, not affected by motion, near the center of the universe. Although Copernicus decides to omit the proofs for the sake of brevity, the deductions in the Commentariolus are supposed to be drawn from the initial seven assumptions. Questions on the nature (are they postulates or axioms?) and the logic (is there an internal rigor?) of those assumptions have yet to be fully explored. By examining Copernicus’s seven assumptions as a question of mathematical practice, it is possible to hold historical, philosophical, and logical aspects of Copernican axiomatics together and understand them as part of Copernicus’s intuition and creativity. (shrink)

Special issue: Philosophy and Mathematics at the Turn of the 18th Century: New Perspectives.

The human attempts to access, measure and organize physical phenomena have led to a manifold construction of mathematical and physical spaces. We will survey the evolution of geometries from Euclid to the Algebraic Geometry of the 20th century. The role of Persian/Arabic Algebra in this transition and its Western symbolic development is emphasized. In this relation, we will also discuss changes in the ontological attitudes toward mathematics and its applications. Historically, the encounter of geometric and algebraic perspectives enriched the mathematical (...) practices and their foundations. Yet, the collapse of Euclidean certitudes, of over 2300 years, and the crisis in the mathematical analysis of the 19th century, led to the exclusion of “geometric judgments” from the foundations of Mathematics. After the success and the limits of the logico-formal analysis, it is necessary to broaden our foundational tools and re-examine the interactions with natural sciences. In particular, the way the geometric and algebraic approaches organize knowledge is analyzed as a cross-disciplinary and cross-cultural issue and will be examined in Mathematical Physics and Biology. We finally discuss how the current notions of mathematical (phase) “space” should be revisited for the purposes of life sciences. (shrink)

Just before the Scientific Revolution, there was a "Mathematical Revolution", heavily based on geometrical and machine diagrams. The "faculty of imagination" (now called scientific visualization) was developed to allow 3D understanding of planetary motion, human anatomy and the workings of machines. 1543 saw the publication of the heavily geometrical work of Copernicus and Vesalius, as well as the first Italian translation of Euclid.

Throughout history, almost all mathematicians, physicists and philosophers have been of the opinion that space and time are infinitely divisible. That is, it is usually believed that space and time do not consist of atoms, but that any piece of space and time of non-zero size, however small, can itself be divided into still smaller parts. This assumption is included in geometry, as in Euclid, and also in the Euclidean and non- Euclidean geometries used in modern physics. Of the few (...) who have denied that space and time are infinitely divisible, the most notable are the ancient atomists, and Berkeley and Hume. All of these assert not only that space and time might be atomic, but that they must be. Infinite divisibility is, they say, impossible on purely conceptual grounds. (shrink)

This article seeks the origin, in the theories of Ibn al-Haytham (Alhazen), Descartes, and Berkeley, of two-stage theories of spatial perception, which hold that visual perception involves both an immediate representation of the proximal stimulus in a two-dimensional ‘‘sensory core’’ and also a subsequent perception of the three dimensional world. The works of Ibn al-Haytham, Descartes, and Berkeley already frame the major theoretical options that guided visual theory into the twentieth century. The field of visual perception was the first area (...) of what we now call psychology to apply mathematics, through geometrical models as used by Euclid, Ptolemy, Ibn al-Haytham, and Descartes (among others). The article shows that Kepler’s discovery of the retinal image, which revolutionized visual anatomy and entailed fundamental changes in visual physiology, did not alter the basic structure of theories of spatial vision. These changes in visual physiology are advanced especially in Descartes' Dioptrics and his L'Homme. Berkeley develops a radically empirist theory vision, according to which visual perception of depth is learned through associative processes that rely on the sense of touch. But Descartes and Berkeley share the assertion that there is a two-dimensional sensory core that is in principle available to consciousness. They also share the observation that we don't usually perceived this core, but find depth and distance to be phenomenally immediate, a point they struggle to accommodate theoretically. If our interpretation is correct, it was not a change in the theory of the psychology of vision that engendered the idea of a sensory core, but rather the introduction of the theory into a new metaphysical context. (shrink)

When adopting a sound logical system, reasonings made within this system are correct. The situation with reasonings expressed, at least in part, with natural language is much more ambiguous. One way to be certain of the correctness of these reasonings is to provide a logical model of them. To conclude that a reasoning process is correct we need the logical model to be faithful to the reasoning. In this case, the reasoning inherits, so to speak, the correctness of the logical (...) model. There is a weak link in this procedure, which we call the faithfulness problem: how do we decide that the logical model is faithful to the reasoning that it is supposed to model? That is an issue external to logic, and we do not have rigorous formal methods to make the decision. The purpose of this paper is to expose the faithfulness problem (not to solve it). For that purpose, we will consider two examples, one from the geometrical reasoning in Euclid’s Elements and the other from a study on deductive reasoning in the psychology of reasoning. (shrink)

Gravitation is interpreted to be an “ontomathematical” force or interaction rather than an only physical one. That approach restores Newton’s original design of universal gravitation in the framework of “The Mathematical Principles of Natural Philosophy”, which allows for Einstein’s special and general relativity to be also reinterpreted ontomathematically. The entanglement theory of quantum gravitation is inherently involved also ontomathematically by virtue of the consideration of the qubit Hilbert space after entanglement as the Fourier counterpart of pseudo-Riemannian space. Gravitation can be (...) also interpreted as purely mathematical or logical “force” or “interaction” as a corollary from its ontomathematical (rather than physical) realization. The ontomathematical approach to gravitation is implicit in general relativity equating it to operators in pseudo-Riemannian space obeying the Einstein field equation and also well-known by the “geometrization of physics”. Quantum mechanics shares the same by the separable complex Hilbert space and defining “physical quantity” by the Hermitian operators on it. One can interpret special Minkowski space involved by special relativity and the qubit Hilbert space of quantum information as Fourier counterparts immediately noticing that general relativity means gravitation as the Fourier counterpart of non-Hermitian operators implying non-unitarity and the violation of energy conservation and thus destroying Pauli’s particle paradigm. Since the Standard model obeys it, this explains the impossibility of “quantum gravitation” in any framework conservatively generalizing the Standard model so that it would include gravitation along with electromagnetic, weak, and strong interactions. Einstein’s geometrization of gravitation can be continued into a purely mathematical theory of it following Euclid’s realization for geometry to be exhaustively built in a deductive and axiomatic way as well as Riemann’s parametrization of all the class of Euclidean and non-Euclidean geometries by “space curvature”, then being generalized to Minkowski space as the operators on pseudo-Riemannian space as the Einstein field equation means gravitation. The transition from mathematical gravitation to logical one can rely on the historical lesson of the pair of Lobachevski’s and Riemann’s approaches now “reversely”, i.e., from the latter to the former. Logical gravitation is linkable to Hegel’s dialectical logic and ontological dialectics abandoning their interpretations as a new zero logic substituting classical propionyl logic. The approach of ontomathematics generalizing that of ontology, traceable even to Aristotle’s reformation of Plato’s doctrine, needs Hegel’s doctrine to be formalized as a first-order logic naturally containing Boolean algebra, isomorphic to both classical propositional logic and set theory being the class of all first-order logics, as a sub-logic along with Peano arithmetic as another sub-logic. The first-order logic at issue is called Hilbert arithmetic and elaborated in detail in other papers. It allows for both self-foundation of mathematics to be internally proved as complete and furthermore, quantum mechanics reinterpreted as quantum information to be included by the qubit Hilbert space interpretable in turn as a dual and physical counterpart of Hilbert arithmetic in a narrow sense, that is, both counterparts constitute Hilbert arithmetic in a wide sense, being mathematical and physical simultaneously and thus overcoming the Cartesian dualism of “body” gapped from “mind” by an abyss. Then, the proper philosophical interpretation of gravitation to be the fundamental ontomathematical force or interaction overcomes the ridiculous belief of the Big Bang wrongly alleged to be a scientific theory. Ontomathematical gravitation suggests an omnipresent and omnitemporal medium of “God’s” creation “ex nihilo” following only the natural necessity of quantum-information conservation particularly and locally manifested as energy conservation. (shrink)

Spinoza's Ethics self-consciously follows the example of Euclid and other geometers in its use of axioms and definitions as the basis for derivations of hundreds of propositions of philosophical si...

The article evaluates the Domain Postulate of the Classical Model of Science and the related Aristotelian prohibition rule on kind-crossing as interpretative tools in the history of the development of mathematics into a general science of quantities. Special reference is made to Proclus’ commentary to Euclid’s first book of Elements , to the sixteenth century translations of Euclid’s work into Latin and to the works of Stevin, Wallis, Viète and Descartes. The prohibition rule on kind-crossing formulated by Aristotle in Posterior (...) analytics is used to distinguish between conceptions that share the same name but are substantively different: for example the search for a broader genus including all mathematical objects; the search for a common character of different species of mathematical objects; and the effort to treat magnitudes as numbers. (shrink)

While it is known that Euclid’s five axioms include a proposition that a line consists at least of two points, modern geometry avoid consistently any discussion on the precise definition of point, line, etc. It is our aim to clarify one of notorious question in Euclidean geometry: how many points are there in a line segment? – from discrete-cellular space (DCS) viewpoint. In retrospect, it may offer an alternative of quantum gravity, i.e. by exploring discrete gravitational theories. To elucidate our (...) propositions, in the last section we will discuss some implications of discrete cellular-space model in several areas of interest: (a) cell biology, (b) cellular computing, (c) Maxwell equations, (d) low energy fusion, and (e) cosmology modelling. (shrink)

We examine the influence of word choices on mathematical practice, i.e. in developing definitions, theorems, and proofs. As a case study, we consider Euclid’s and Euler’s word choices in their influential developments of geometry and, in particular, their use of the term ‘polyhedron’. Then, jumping to the twentieth century, we look at word choices surrounding the use of the term ‘polyhedron’ in the work of Coxeter and of Grünbaum. We also consider a recent and explicit conflict of approach between Grünbaum (...) and Shephard on the one hand and that of Hilton and Pedersen on the other, elucidating that the conflict was engendered by disagreement over the proper conceptualization, and so also the appropriate word choices, in the study of polyhedra. (shrink)

The cognitive basis of geometry is still poorly understood, even the ‘simpler’ issue of what kind of representation of geometric objects we have. In this work, we set forward a tentative model of the neural representation of geometric objects for the case of the pure geometry of Euclid. To arrive at a coherent model, we found it necessary to consider earlier forms of geometry. We start by developing models of the neural representation of the geometric figures of ancient Greek practical (...) geometry. Then, we propose a related model for the earliest form of pure geometry – that of Hippocrates of Chios. Finally, we develop the model of the neural representation of the geometric objects of Euclidean geometry. The models are based on the hub-and-spoke theory. In our view, the existence of specific models opens the possibility of addressing the relationship between geometric figures and geometric objects, in a novel way, in terms of their neural representation. (shrink)

The purpose of this work is to address the relation existing between ancient Greek practical geometry and ancient Greek pure geometry. In the first part of the work, we will consider practical and pure geometry and how pure geometry can be seen, in some respects, as arising from an idealization of practical geometry. From an analysis of relevant extant texts, we will make explicit the idealizations at play in pure geometry in relation to practical geometry, some of which are basically (...) explicit in definitions, like that of segments in Euclid’s Elements. Then, we will address how in pure geometry we, so to speak, “refer back” to practical geometry. This occurs in two ways. One, in the propositions of pure geometry. The other, when applying pure geometry. In this case, geometrical objects can represent practical figures like, e.g., a practical segment. (shrink)

Is vision merely a state of the beholder’s sensory organ which can be explained as an immediate effect caused by external sensible objects? Or is it rather a successive process in which the observer actively scanning the surrounding environment plays a major part? These two general attitudes towards visual perception were both developed already by ancient thinkers. The former is embraced by natural philosophers (e.g., atomists and Aristotelians) and is often labelled “intromissionist”, based on their assumption that vision is an (...) outcome of the causal influence exerted by an external object upon a sensory organ receiving an entity from the object. The latter attitude to vision as a successive process is rather linked to the “extramissionist” theories of the proponents of geometrical optics (such as Euclid or Ptolemy) who suggest that an entity – a visual ray – is sent forth from the eyes to the object. The present paper focuses on the contributions to this ancient controversy proposed by some 13th-century Latin thinkers. [...]. (shrink)

Accounts of Hobbes’s ‘system’ of sciences oscillate between two extremes. On one extreme, the system is portrayed as wholly axiomtic-deductive, with statecraft being deduced in an unbroken chain from the principles of logic and first philosophy. On the other, it is portrayed as rife with conceptual cracks and fissures, with Hobbes’s statements about its deductive structure amounting to mere window-dressing. This paper argues that a middle way is found by conceiving of Hobbes’s _Elements of Philosophy_ on the model of a (...) mixed-mathematical science, not the model provided by Euclid’s _Elements of Geometry_. I suggest that Hobbes is a test case for understanding early-modern system-construction more generally, as inspired by the structure of the applied mathematical sciences. This approach has the additional virtue of bolstering, in a novel way, the thesis that the transformation of philosophy in the long seventeenth century was heavily indebted to mathematics, a thesis that has increasingly come under attack in recent years. (shrink)

The cognitive processing of spatial relations in Euclidean diagrams is central to the diagram-based geometric practice of Euclid's Elements. In this study, we investigate this processing through two dichotomies among spatial relations—metric vs topological and exact vs co-exact—introduced by Manders in his seminal epistemological analysis of Euclid's geometric practice. To this end, we carried out a two-part experiment where participants were asked to judge spatial relations in Euclidean diagrams in a visual half field task design. In the first part, we (...) tested whether the processing of metric vs topological relations yielded the same hemispheric specialization as the processing of coordinate vs categorical relations. In the second part, we investigated the specific performance patterns for the processing of five pairs of exact/co-exact relations, where stimuli for the co-exact relations were divided into three categories depending on their distance from the exact case. Regarding the processing of metric vs topological relations, hemispheric differences were found for only a few of the stimuli used, which may indicate that other processing mechanisms might be at play. Regarding the processing of exact vs co-exact relations, results show that the level of agreement among participants in judging co-exact relations decreases with the distance from the exact case, and this for the five pairs of exact/co-exact relations tested. The philosophical implications of these empirical findings for the epistemological analysis of Euclid's diagram-based geometric practice are spelled out and discussed. (shrink)

Baruch, or Benedictus, Spinoza (1632–77) is the author of works, especially the Ethics and the Theological-Political Treatise, that are a major source of the ideas of the European Enlightenment. The Ethics is a dense series of arguments on progressively narrower subjects – metaphysics, mind, the human affects, human bondage to passion, and human blessedness – presented in a geometrical order modeled on that of Euclid. In it, Spinoza begins by defending a metaphysics on which God is the only substance and (...) is bound by the laws of his own nature. Spinoza then builds a naturalistic ethics that is constrained by, and to some extent is a product of, his strong metaphysics. Human beings are individuals that causally interact with other individuals and are extremely vulnerable to external influence. They are not substances. Moreover, human beings are bound by the same laws that bind all other individuals in nature, so Spinoza presents accounts of goodness, virtue, and perfection that are consistent with these perfectly general laws. Spinoza’s principal influences include René Descartes, Thomas Hobbes (see hobbes, thomas), Moses Maimonides (see maimonides, moses), the Roman Stoics (see stoicism), and Aristotle (see aristotle). Although his innovative philosophical views undoubtedly contributed to the strong writ of cherem, or ostracism, that Spinoza received from the Portuguese Jewish community of Amsterdam in 1656, his work nevertheless also shows the influence of the study of Scripture and of Jewish law. (shrink)

In this article I develop an elementary system of axioms for Euclidean geometry. On one hand, the system is based on the symmetry principles which express our a priori ignorant approach to space: all places are the same to us, all directions are the same to us and all units of length we use to create geometric figures are the same to us. On the other hand, through the process of algebraic simplification, this system of axioms directly provides the Weyl’s (...) system of axioms for Euclidean geometry. The system of axioms, together with its a priori interpretation, offers new views to philosophy and pedagogy of mathematics: it supports the thesis that Euclidean geometry is a priori, it supports the thesis that in modern mathematics the Weyl’s system of axioms is dominant to the Euclid’s system because it reflects the a priori underlying symmetries, it gives a new and promising approach to learn geometry which, through the Weyl’s system of axioms, leads from the essential geometric symmetry principles of the mathematical nature directly to modern mathematics. (shrink)

For the classical Geometry, in a geometrical space, all items (concepts, axioms, theorems, etc.) are totally (100%) true. But, in the real world, many items are not totally true. The NeutroGeometry is a geometrical space that has some items that are only partially true (and partially indeterminate, and partially false), and no item that is totally false. The AntiGeometry is a geometrical space that has some item that are totally (100%) false. While the Non-Euclidean Geometries [hyperbolic and elliptic geometries] resulted (...) from the total negation of only one specific axiom (Euclid’s Fifth Postulate), the AntiGeometry results from the total negation of any axiom [and in general: theorem, concept, idea etc.] and even of more axioms [theorem, concept, idea, etc.] and in general from any geometric axiomatic system (Euclid’s five postulates, Hilbert’s 20 axioms, etc.), and the NeutroAxiom results from the partial negation of any axiom (or concept, theorem, idea, etc.). Clearly, the AntiGeometry is a generalization of Non-Euclidean Geometries. (shrink)

Socrates’ burial is dismissed as philosophically irrelevant in Phaedo 115c-e although it had previously been discussed by Plato’s older contemporaries. In Antisthenes’ Kyrsas dialogue describes a visit to Socrates’ tomb by a lover of Socrates who receives protreptic advice in a dream sequence while sleeping over Socrates’ grave. The dialogue is a metaphysical explanation of how Socrates’ spiritual message was continued after death. Plato underplays this metaphorical imagery by lampooning Antisthenes philosophy and his work (Phd. 81b-82e) and subsequently precludes him (...) from an active role in the Phaedo. A similar case is the exclusion of Euclides of Megara. Fragments of a lost Socratic dialogue depict Apollodorus citing an unnamed Megarian in order to justify care for the remains of the dead. Similar mistaken notions explain Kyrsas’ belief when he lusts after Socrates even though he was dead. In spite of these disputes, the philosophers (Euclides, Antisthenes and Plato) each attempted to present Socrates’ moral influence as a force that continued after his death and burial. (shrink)

This is the report on the XVI BRAZILIAN LOGIC CONFERENCE (EBL 2011) held in Petrópolis, Rio de Janeiro, Brazil between May 9–13, 2011 published in The Bulletin of Symbolic Logic Volume 18, Number 1, March 2012. -/- The 16th Brazilian Logic Conference (EBL 2011) was held in Petro ́polis, from May 9th to 13th, 2011, at the Laboratório Nacional de Computação o Científica (LNCC). It was the sixteenth in a series of conferences that started in 1977 with the aim of (...) congregating logicians from Brazil and abroad, furthering interest in logic and its applications, stimulating cooperation, and contributing to the development of this branch of science. EBL 2011 included more than one-hundred and fifty participants, all of them belonging to prominent research institutes from Brazil and abroad, especially Latin America. The conference was sponsored by the Academia Brasileira de Ciências (ABC), the As- sociation for Symbolic Logic (ASL), Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Centre for Logic, Epistemology and the History of Sciences (CLE), Laboratório Nacional de Computação o Científica (LNCC), Pontif ́ıcia Universidade Cato ́lica do Rio de Janeiro (PUC- Rio), Sociedade Brasileira de Lógica (SBL), and Universidade Federal Fluminense (UFF). Funding was provided by Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient ́ıfico e Tecnolo ́ gico (CNPq), Fundac ̧a ̃o de Amparo `a Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), Fundação Euclides da Cunha (FEC), and Universidade Federal Fluminense (UFF). The members of the Scientific Committee were: Mário Folhadela Benevides (COPPE- UFRJ), Fa ́bio Bertato (CLE-IFCH-UNICAMP), Jean-Yves Béziau (UFRJ), Ricardo Bianconi (USP), Juliana Bueno-Soler (UFABC), Xavier Caicedo (Universidad de Los An- des), Walter Carnielli (CLE-IFCH-UNICAMP), Oswaldo Chateaubriand Filho (PUC-Rio), Marcelo Esteban Coniglio (CLE-IFCH-UNICAMP), Newton da Costa (UFSC, President), Antonio Carlos da Rocha Costa (UFRG), Alexandre Costa-Leite (UnB), I ́tala M. Loffredo D’Ottaviano (CLE-IFCH-UNICAMP), Marcelo Finger (USP), Edward Hermann Haeusler (PUC-Rio), Décio Krause (UFSC), João Marcos (UFRN), Ana Teresa de Castro Martins (UFC), Maria da Paz Nunes de Medeiros (UFRN), Francisco Miraglia (USP), Luiz Car- los Pereira (PUC-Rio and UFRJ), Elaine Pimentel (UFMG), and Samuel Gomes da Silva (UFBA). The members of the Organizing Committee were: Anderson de Araujo (UNICAMP), Walter Carnielli (CLE-IFCH-UNICAMP), Oswaldo Chateaubriand Filho (PUC-Rio, Co- chair), Marcelo Correa (UFF), Renata de Freitas (UFF), Edward Hermann Haeusler (PUC- RJ), Hugo Nobrega (COPPE-UFRJ), Luiz Carlos Pereira (PUC-Rio e IFCS/UFRJ), Leandro Suguitani (UNICAMP), Rafael Testa (UNICAMP), Leonardo Bruno Vana (UFF), and Petrucio Viana (UFF, Co-chair). (shrink)

This largely expository lecture deals with aspects of traditional solid geometry suitable for applications in logic courses. Polygons are plane or two-dimensional; the simplest are triangles. Polyhedra [or polyhedrons] are solid or three-dimensional; the simplest are tetrahedra [or triangular pyramids, made of four triangles]. -/- A regular polygon has equal sides and equal angles. A polyhedron having congruent faces and congruent [polyhedral] angles is not called regular, as some might expect; rather they are said to be subregular—a word coined for (...) this lecture. To repeat, a subregular polyhedron has congruent faces and congruent [polyhedral] angles. A subregular polyhedron whose faces are all regular polygons is regular—using standard terminology. -/- Geometers before Euclid showed that there are “essentially” only five regular polyhedra: every regular polyhedron is a tetrahedron (4 faces), a hexahedron or cube (6 faces), an octahedron (8 faces), a dodecahedron (12 faces), or an icosahedron (20 faces). -/- The first question is whether there are subregular polyhedra that are not regular. For example, are there tetrahedra having congruent angles and congruent triangular faces but whose faces are not equilateral triangles? -/- Another question is the classification of subregular polyhedra if they exist. For example, considering the fact that the regular tetrahedra all have equilateral triangles as faces, we ask which triangles other than equilaterals are faces of subregular tetrahedra. Similarly, considering the fact that the regular hexahedra all have squares as faces, we ask which quadrangles other than squares are faces of subregular hexahedra. -/- After introductory remarks that include historical and philosophical points, we concentrate on tetrahedra. A triangle that is congruent to each of the four faces of a tetrahedron is called a generator of the tetrahedron. The main result proved is that every acute triangle is a generator of a subregular tetrahedron. The proof includes an algorithm –implementable with scissors and paper –that constructs from any given acute triangle a subregular tetrahedron whose faces are congruent to the given triangle. -/- Algorithm: Given any acute triangle. Construct a similar triangle whose sides are double the sides of the given triangle. Draw the three lines connecting the three midpoints of the sides (making four triangles congruent to the given triangle—a central triangle surrounded by three peripheral triangles). Make three “hinges” along the lines connecting the midpoints. “Fold” the peripheral triangles together (into a tetrahedron). [LIGHTLY EDITED VERSION OF PRINTED ABSTRACT] Acknowledgements: William Lawvere, Colin McLarty, Irvin Miller, Frango Nabrasa, Lawrence Spector, Roberto Torretti, and Richard Vesley. -/- . (shrink)

Since the early days of physics, space has called for means to represent, experiment, and reason about it. Apart from physicists, the concept of space has intrigued also philosophers, mathematicians and, more recently, computer scientists. This longstanding interest has left us with a plethora of mathematical tools developed to represent and work with space. Here we take a special look at this evolution by considering the perspective of Logic. From the initial axiomatic efforts of Euclid, we revisit the major milestones (...) in the logical representation of space and investigate current trends. In doing so, we do not only consider classical logic, but we indulge ourselves with modal logics. These present themselves naturally by providing simple axiomatizations of different geometries, topologies, space-time causality, and vector spaces. (shrink)

In this paper we extend Neutro-Algebra and Anti-Algebra to geometric spaces, founding Neutro/Geometry and AntiGeometry. While Non-Euclidean Geometries resulted from the total negation of a specific axiom (Euclid's Fifth Postulate), AntiGeometry results from the total negation of any axiom or even more axioms of any geometric axiomatic system (Euclidean, Hilbert, etc. ) and of any type of geometry such as Geometry (Euclidean, Projective, Finite, Differential, Algebraic, Complex, Discrete, Computational, Molecular, Convex, etc.), and Neutro-Geometry results from the partial negation of one (...) or more axioms [and without total negation of any axiom] of any geometric axiomatic system and of any type of geometry. Generally, instead of a classical geometric Axiom, one can take any classical geometric Theorem of any axiomatic system and of any type of geometry, and transform it by Neutrosophication or Antisofication into a Neutro-Theorem or Anti-Theorem respectively to construct a Neutro-Geometry or Anti-Geometry. Therefore, Neutro-Geometry and Anti-Geometry are respectively alternatives and generalizations of Non-Euclidean Geometries. In the second part, the evolution from Paradoxism to Neutrosophy, then to NeutroAlgebra and Anti-Algebra, then to Neutro-Geometry and Anti-Geometry, and in general to Neutro-Structure and Anti-Structure that arise naturally in any field of knowledge is recalled. At the end, applications of many Neutro-Structures in our real world are presented. (shrink)

In this survey, a recent computational methodology paying a special attention to the separation of mathematical objects from numeral systems involved in their representation is described. It has been introduced with the intention to allow one to work with infinities and infinitesimals numerically in a unique computational framework in all the situations requiring these notions. The methodology does not contradict Cantor’s and non-standard analysis views and is based on the Euclid’s Common Notion no. 5 “The whole is greater than the (...) part” applied to all quantities (finite, infinite, and infinitesimal) and to all sets and processes (finite and infinite). The methodology uses a computational device called the Infinity Computer (patented in USA and EU) working numerically (recall that traditional theories work with infinities and infinitesimals only symbolically) with infinite and infinitesimal numbers that can be written in a positional numeral system with an infinite radix. It is argued that numeral systems involved in computations limit our capabilities to compute and lead to ambiguities in theoretical assertions, as well. The introduced methodology gives the possibility to use the same numeral system for measuring infinite sets, working with divergent series, probability, fractals, optimization problems, numerical differentiation, ODEs, etc. (recall that traditionally different numerals lemniscate; Aleph zero, etc. are used in different situations related to infinity). Numerous numerical examples and theoretical illustrations are given. The accuracy of the achieved results is continuously compared with those obtained by traditional tools used to work with infinities and infinitesimals. In particular, it is shown that the new approach allows one to observe mathematical objects involved in the Hypotheses of Continuum and the Riemann zeta function with a higher accuracy than it is done by traditional tools. It is stressed that the hardness of both problems is not related to their nature but is a consequence of the weakness of traditional numeral systems used to study them. It is shown that the introduced methodology and numeral system change our perception of the mathematical objects studied in the two problems. (shrink)

In his doctoral dissertation On the Principle of Sufficient Reason, Arthur Schopenhauer there outlines a critique of Euclidean geometry on the basis of the changing nature of mathematics, and hence of demonstration, as a result of Kantian idealism. According to Schopenhauer, Euclid treats geometry synthetically, proceeding from the simple to the complex, from the known to the unknown, “synthesizing” later proofs on the basis of earlier ones. Such a method, although proving the case logically, nevertheless fails to attain the raison (...) d’être of the entity. In order to obtain this, a separate method is required, which Schopenhauer refers to as “analysis,” thus echoing a method already in practice among the early Greek geometers, with however some significant differences. In this essay, I here discuss Schopenhauer’s criticism of synthesis in Euclid’s Elements, and the nature and relevance of his own method of analysis. (shrink)

Mathematics textbooks teach logical reasoning by example, a practice started by Euclid; while logic textbooks treat logic as a subject in its own right without practical application to mathematics. Stuck in the middle are students seeking mathematical proficiency and educators seeking to provide it. To assist them, the article explains in practical detail how to teach logic-based skills such as: making mathematical reasoning fully explicit; moving from step to step in a mathematical proof in logically correct ways; and checking to (...) make sure inferences are logically correct. The methodology can easily be extended beyond the four examples analyzed. (shrink)

En su ópera prima, antes de concebir la filosofía crítica, Kant manifestó su entusiasmo por una geometría de todos los tipos posibles de espacio, y no sólo del espacio conocido. Como el filósofo atribuye cada espacio a un mundo posible distinto, la "geometría suprema", como la denominó, en realidad sería el nombre genérico para un conjunto de geometrías diversas que describen espacios igualmente diversos. En ese conjunto genérico se encuentra la geometría de Euclides, y cabe preguntarse si acaso entre (...) las otras especies no podrían hallarse las geometrías que hoy conocemos como no-euclídeas. Creemos que no es así, y es lo que nos proponemos mostrar en este trabajo. Sostendremos, por lo tanto, la distinción entre las denominaciones "otras geometrías" y "geometrías no-euclídeas" y desarrollaremos la incompatibilidad entre ambas tal como ésta se sigue de los textos de Kant. Intentaremos asimismo caracterizar las "otras geometrías" según la noción de "espacio habitado", por nosotros o por los eventuales habitantes de otros universos posibles. Así, las "otras geometrías" quizá podrían ser comprendidas mejor como geometrías de los otros (de la alteridad), que como anticipación de las geometrías no-euclídeas. (shrink)

The symbolism of nature as a book in which one reads is of ancient origin. This study focuses on the question of its mathematical and theological language in the biblical context and on the background of changes in natural philosophy, especially in the Renaissance period. The biblical context is associated with the paradigm shift in the Renaissance period, because all the researched authors addressed the questions of meaning and methods of research of nature in connection with the hermeneutics of biblical (...) texts. The change in attitude towards the method and results of nature research is connected with two concepts of the relationship of mathematics to the real world. As this world is considered to be created by God, the relationship of mathematics and matter is linked to the question of God's relationship to mathematics. In relation to nature, it was initially significantly limited to geometry, largely under the influence of Euclid and Pythagoras. In the Renaissance period, the preconditions for analytical geometry and infinitesimal calculus were already being created. Thanks to them, Newton was able to build a new physics that combined ancient and medieval approaches to astronomy and terrestrial nature, originally diametrically different, into one whole. (shrink)

SOCIOLOGIA DO TRABALHO: O CONCEITO DO TRABALHO DA ANTIGUIDADE AO SÉCULO XVI -/- SOCIOLOGY OF WORK: THE CONCEPT OF WORK OF ANTIQUITY FROM TO THE XVI CENTURY -/- RESUMO -/- Ao longo da história da humanidade, o trabalho figurou-se em distintas posições na sociedade. Na Grécia antiga era um assunto pouco, ou quase nada, discutido entre os cidadãos. Pensadores renomados de tal época, como Platão e Aristóteles, deixaram a discussão do trabalho para um último plano. Após várias transformações sociais entre (...) diferentes eras e povos, o trabalho foi ganhando espaço nos debates entre os povos, como os caldeus, hebreus e romanos. O trabalho conferiu-se no escopo da discussão social. Na Idade Média, com Agostinho, Santo Aquino e outros o labor foi concebido como algo benéfico e divino. O que se via como algo “escravo” ao povo, transformou-se em necessidade e benevolência divina. -/- Palavras-chave: Conceito; Trabalho; História; Definição. -/- ABSTRACT -/- Throughout the history of mankind, work has figured itself in different positions in society. In ancient Greece it was a little matter, or almost nothing, discussed among the citizens. Renowned thinkers of such a time, like Plato and Aristotle, left the discussion of the work for a last plan. After several social transformations between different eras and peoples, work was gaining space in the debates among peoples, such as the Chaldeans, Hebrews and Romans. The work has taken place within the scope of social discussion. In the Middle Ages, with Augustine, Saint Aquinas and others the work was conceived as something beneficial and divine. What was seen as something “slave” to the people, became need and divine benevolence. -/- Keywords: Concept; Work; History; Definition. -/- BASES TEMÁTICAS DESSE TRABALHO -/- ➢ O trabalho é um conceito construído socialmente; -/- ➢ A modernidade trouxe consigo mudanças significativas quanto à valorização do trabalho; -/- ➢ A origem dos mercados de trabalho, juntamente com o surgimento do capitalismo, minimizou o trabalho como um mero emprego assalariado; -/- ➢ O trabalho, no entanto, apresenta múltiplas manifestações nas nossas sociedades. -/- 1. A VISÃO GREGA DE TRABALHO -/- Comecemos pelos gregos, uma civilização excitante que, durante muitos séculos antes de Cristo, já começava a elaborar riquíssimas reflexões sobre vários aspectos da vida humana. No entanto, surpreende aqueles de nós que já ler os primeiros filósofos gregos, como entre tantas análises rigorosas e “diálogos”, um elemento tão central na vida social dos povos, como o trabalho havia tido escassa repercussão. A explicação só faz sentido, justamente, ao analisar a valorização que esses grandes pensadores tinham acerca do nosso objeto de estudo que é o trabalho. Embora, como supracitado, os gregos não tivessem uma visão unânime sobre o trabalho, não é menos certo assinalar que para esta civilização o trabalho foi considerado um fato altamente desvalorizado. O trabalho, para eles, dado a sua vinculação com a dimensão de constrangimento e necessidades, limitava a liberdade dos indivíduos, condição indispensável para integrar o mundo da “pólis” na qualidade de cidadão. O homem livre realizava atividades absolutamente desinteressadas: a atividade intelectual (que não era considerada trabalho) fazia parte do ócio e da contemplação. O trabalho, reservado apenas aos escravos, como bem sinala Hopenhayn (1955), significava uma mera função produtiva. Portanto, o escravo passou a ser unicamente uma força de trabalho. Como tal, ele não tem personalidade e pertence ao seu mestre, como uma coisa entre muitas. Como objeto de propriedade, escapa ao pensamento antropológico que domina a filosofia sofista e socrática, porque para o cidadão grego falar de escravo não implica um sujeito pensante, senão uma coisa ou, no máximo, a força. Também escapa ao pensamento platônico, porque, como uma coisa, parece totalmente desvalorizado na construção idealista-dualista da realidade (HOPENHAYN, 1988. p. 23 – Tradução própria). -/- Três termos fundamentais que devemos recordar da tradição grega: -/- 1 – Ponos: penalidade, fadiga; -/- 2 – Banausia: trabalho mecânico, e -/- 3 – Ergon: realização. -/- Vejamos como essa noção de trabalho é construída como algo servil (ponos), ao qual uma visão positiva de lazer e contemplação foram contrastadas como uma atividade puramente humana e libertadora. As raízes do supracitado são encontradas no valor eticamente supremo da autarquia socrática. Segundo essa noção alcunhada por Sócrates (469-399 a.C.), todo aquele que trabalha está submetido tanto à matéria como aos homens para quem trabalha. Nessa medida, sua vida carece de autonomia e, portanto, de valor moral. Naturalmente, não só os escravos, mas também qualquer trabalhador dedicado a todos os tipos de tarefas manuais, foram desprezados por um pensamento helênico indubitavelmente aristocrático. Para Platão (427-347 a.C.), de origem aristocrática, descendente do último rei de Atenas e discípulo de Sócrates, a autarquia continua a ser perpetrada como um valor ético supremo e, em consonância com os interesses da aristocracia fundiária, afirmava que somente a agricultura evocava autêntica autonomia. Dessa forma, o pensamento platônico restringiu a participação política a escravos, comerciantes e artesãos. Todos eles têm em comum a dependência das condições materiais em que produzem e trocam mercadorias. O plano político estará intimamente relacionado ao econômico-trabalhista: somente quem é capaz de governar a si mesmo (e como sabemos, acontece com aqueles que não trabalham ou possuem terras), pode governar os outros. Somente a liberação total da prática mundana do trabalho abre as possibilidades de dedicar-se, como fez Platão, à contemplação (σχολή), à filosofia e às ciências, e por meio disso saber distinguir o bem do mal, o justo do injusto, o verdadeiro do falso. Quem poderia dedicar-se a tais “tarefas nobres”? Evidentemente, aqueles que não precisam fazer parte da população trabalhadora, isto é, a aristocracia. Esse sistema de governo aristocrático foi defendido, obviamente, por Platão. Em sua “A República” sinala que o governo perfeito é o aristocrático, e que a este se sucedem a timocracia (governo dos guerreiros), a oligarquia (dos ricos) e a democracia (“governo daqueles que amam o prazer, a mudança e a liberdade), que perece por seus excessos nas mãos de alguns homem audaz que se coloca à frente do povo para defender a democracia e “do tronco desses protetores do povo nasce o tirano”, dando origem à tirania.(2) Em seu diálogo “Político” podemos ler: Aqueles que possuem a si mesmos através da compra, e aqueles que podem ser chamados sem nenhuma discussão de escravos, não participam da arte real [...] E todos aqueles que são livres, se dedicam espontaneamente a atividades servis como as supracitadas, transportando e trocando produtos da agricultura e de outras artes; que nos mercados, indo de cidade em cidade por mar e terra, trocando dinheiro por outras coisas ou por dinheiro, o que chamamos de banqueiros, comerciantes, marinheiros e revendedores, poderão, por acaso, reivindicar para eles algo da ciência política? [...], mas também aqueles que estão dispostos a prestar serviços a todos por salários ou por subsídios, nunca os encontramos participantes na arte de governar [...] Como os chamaremos? Como você acabou de dizer agora: servidores, mas não governantes dos estados (PLATÃO, 1983. pp. 237-8 – adaptado). Esse estado ideal que Platão projetou em seus ensinamentos estava longe, a propósito, da democracia ateniense defendida por Péricles. De certa forma, Platão só confiava em uma elite no poder constituída por uns poucos (oligarquia) que não deveriam se render às tarefas servis da produção e circulação das riquezas. Para ele, as crianças aristocráticas deveriam ser selecionadas desde a infância, recebendo uma educação suficiente tanto em filosofia quanto nas “artes da guerra”. Aos trinta anos, eles já seriam capazes de passar por um exame donde seriam selecionados os “filósofos-reis” encarregados do governo. De fato, no entanto, suas concepções de governo nunca poderiam ser executadas com pureza; ou pela chamada “contrarrevolução aristocrática”, ou pela invasão estrangeira subsequente. Essa visão do trabalho que estamos a analisar, como bem sinala Henri Arvon (1914- 1992), conduz a uma sociedade basicamente conservadora e estancada no produtivo. (3) A ideia de liberdade, ócio e contemplação como valores superiores, propõe um desprezo pelo trabalho que, como vimos, é uma atividade puramente transformadora. Há aqueles que, mediante tal contestação, arriscam fundamentar que grande parte do subdesenvolvimento tecnológico na Grécia derive justamente a essa cultura tão peculiar em relação ao trabalho. Caso contrário, se houvesse escravos, por que avançar em conhecimentos que facilitaram o trabalho? Não nos surpreende, nesse sentido, que uma civilização capaz de criar conhecimentos espetaculares em áreas particularmente complexas como a geometria (Euclides), por outro lado, não soubesse (ou não gostaria) de avançar em conhecimentos técnicos aplicáveis ao campo econômico-trabalhista. Já vimos como a cidadania era o escopo da de alguns aristocratas da civilização helênica. Hannah Arendt (1906-1975) sinalava que os gregos distinguiam entre os escravos, os inimigos vencidos (dmôes ou douloi) que estavam encarregados do trabalho doméstico, e os demiourgoi, homens livres para se deslocarem do domínio privado para o público. Somente depois do século V, sinala Arendt, a pólis começou a classificar as ocupações de acordo com os esforços que eles exigiam. Nisso, Aristóteles (384-322 a.C.) teve que desempenhar um papel preponderante que colocou aqueles cujo “corpo está mais deformado” na faixa mais baixa. Ele não admitiria, portanto, aos estrangeiros (os escravos), nem tampouco aos banausoi, antes dos demiourgoi, trabalhadores e artesãos que deviam resignar-se ao mundo dos “oikos”. Estes, não só estavam submetidos à necessidade como eram incapazes de ser livres, mas também incapazes de governar a parte “animal” do seu ser (República, 590). Serão eles, não obstante, aqueles que permitem o florescimento da chamada democracia helênica, pois, quem senão os trabalhadores (escravos ou artesãos) poderia manter com seu esforço o ócio e a contemplação dos “homens livres”, cidadãos do mundo? Como foi supracitado, será Aristóteles quem delimitará ainda mais os direitos de cidadania. Sua cidade ideal, como em Platão, diferenciaria os governantes dos governados. O primeiro, constituído pela classe militar, estadistas, magistrados e sacerdócio. O segundo, pelos agricultores, artesãos e os camponeses. Com os comerciantes há uma certa ambivalência: embora ele considerava uma ocupação antinatural, estava disposto a admiti-los até certo ponto em sua cidade ideal, cuja base seguiria sendo a escravidão. Em sua Política, ele explana: A cidade mais perfeita não fará do trabalhador manual (artesão) um cidadão. Caso o admitir como tal, a definição de virtude cívica [...] não alcança todos os cidadãos, nem apenas os homens livres, mas só os que estão isentos de trabalhos indispensáveis à sobrevivência. Destes, os que estão a serviço de um só indivíduo, são escravos; os que servem a comunidade, são trabalhadores manuais (artesãos) ou trabalhadores não qualificados (ARISTÓTELES, 1998. p. 203). Tampouco compreenderá os agricultores como reivindicava Platão: “Tampouco deverão ser agricultores os futuros cidadãos, pois para a formação de sua virtude e para a atividade política, o ócio é necessário”. Essa prolifera discussão ocorreu em uma civilização onde começaram a surgir as primeiras mudanças produtivas derivadas do crescimento econômico feito do descobrimento do ferro, e sua posterior divisão do trabalho, onde florescem os grupos de comerciantes e a aristocracia proprietária de terras começa a dominar. Os pensadores da época, mais aliados a estes últimos, contrariavam os princípios da acumulação comercial. Em sua Política, Aristóteles aconselha os cidadãos a absterem-se de qualquer profissão mecânica e de toda especulação mercantil. O primeiro, porque limita intelectualmente, e o segundo, porque degrada o ético. Somente o ócio (scholé), para esses pensadores, permite a virtuosidade e a capacidade de julgar. A Koinonia politiké (comunidade dos homens livres) era típica daqueles que não precisavam de trabalho, relegando a população trabalhadora ao mero âmbito da reprodução material (chrematistiké), o que só era possível em um contexto de alta divisão do trabalho onde um grupo minoritário (oligarquia) vivia à custa do trabalho da maioria (muitos deles escravos). O termo “ócio” provém de “scholé”, entendido entre os gregos como tempo para si mesmo, para a contemplação (sjolé) e, portanto, para a formação (scholé = escola). Desse ponto de vista, o ócio para os gregos é um fim em si mesmo. Entre os romanos, no entanto, adquire outra conotação. Em latim octium, designa o campo contraposto ao neo-octium (negócio), ou seja, é o tempo de descanso que permite dedicar-se ao negócio. Tal visão sobre o trabalho e o ócio, respectivamente, não foi, no entanto, como supracitado no início, unanimemente desenvolvida em toda a história da civilização helênica. Os textos de Homero(4) (séculos IX e VIII a.C.) são mais reservados a respeito, mas acima de tudo, na Grécia antiga encontramos autores como Hesíodo (século VIII), que postulavam outras teses. Para o autor de “Os trabalhos e os dias”, o trabalho se constituía em um justo e necessário castigo que Zeus impôs aos homens pelo pecado de Prometeu. Note a similitude com a crença bíblica que veremos adiante. Hesíodo explana: Lembre-se sempre do meu conselho e trabalhe [...] os deuses e os homens se indignam com quem ocioso vive, semelhante em caráter aos zangões sem ferrão, que consomem o esforço das abelhas [...] O trabalho não é nenhuma desonra; desonra é não trabalhar (HESÍODO, 2012. p. 93 e 95). Também entre alguns sofistas (aqueles que vendiam sua sabedoria a quem gostaria de comprá-la), como Protágoras (século V a.C.), “o primeiro e o maior deles”(5), coloca o estudo e a arte (técnica) na mesma faixa, e Antifonte (século V a.C.) disse: “[...] e as honras e preços, e toda a espécie de encorajamento que Deus incumbiu aos homens, devem necessariamente resultar de fadiga e suor”. Como conviveu a cultura grega com essas noções tão diferentes? Tenho a ideia, juntamente com Hopenhayn, que o desprezo dos pensadores gregos pelo manual foi causado pela violência dos guerreiros e dos aristocratas de plantão, que impuseram aos seja derrotados o jugo. Do trabalho árduo e difícil. Porque a aristocracia queria trabalhar nessas condições? A própria divisão do trabalho em si possibilitou o crescimento da civilização helênica, estava gerando diferentes classes com visões distintas sobre o trabalho. Por outro lado, surgiram os camponeses pobres, os derrotados e aqueles que tinham que viver do trabalho artesanal. Essas pessoas, na maioria das vezes isoladas do mundo da “polis”, gerariam suas próprias leituras dos acontecimentos, seus próprios espaços para o desenvolvimento cultural, inclusive sua própria religião, distante daquela imposta pela visão aristocrática, olímpica, contemplativa e estética dos “homens livres”. -/- 2. A VISÃO DOS CALDEUS ACERCA DO TRABALHO -/- A leitura de outros povos e civilizações sobre este tema tem sido diferente. Entre os caldeus, por exemplo, a visão pejorativa analisada entre os gregos não é registrada. Nas escrituras sagradas da religião de Zaratustra (o Avesta), lemos: “É um santo aquele que constrói uma casa, na qual mantém o fogo, o gado, sua mulher, seus filhos, os bons párias. Aquele que faz a terra produzir trigo, que cultiva os frutos do campo, cultiva corretamente a pureza” (HOPENHAYN, 1988. p. 35). Para os caldeus, como se pode observar, o trabalho implica, de uma posição diametralmente oposta à helênica, uma contribuição na ordem econômica, mas também na espiritual. Trabalhar não é só “cultivar o trigo” (dimensão das necessidades fisiológicas), mas também “cultivar a pureza”, dimensão esta, relacionada com a satisfação das necessidades espirituais. Por que apreciamos uma diferença tão acentuada entre essas culturas? Provavelmente, os diferentes graus de desenvolvimento dos povos levaram a isso. Enquanto entre os gregos primava uma divisão do trabalho, onde alguns tinham o status de “homens livres” dedicados à contemplação e ao ócio, outros não tinham escolha a não ser trabalhar, em uma situação de domínio em relação às naturezas daqueles que o empregaram. Esse não foi o caso dos caldeus, que possuía um escasso dividido trabalho, em que a todos se correspondia uma atividade laboriosa. -/- 3. A VISÃO DOS HEBREUS SOBRE O TRABALHO -/- No meio do caminho entre os caldeus e os gregos, encontramos a avaliação do trabalho feita pelos hebreus, dessa vez, tingindo de ambivalências. Tal como ponderava Hesíodo entre os gregos, para os hebreus, o trabalho se constituía de um mal necessário; em um meio para expiar os pecados; dessa vez não de Prometeu, mas de Adão e Eva. Vamos ver, no entanto, alguns aspectos mais complexos. A primeira coisa a se notar da perspectiva hebraica (compartilhada com o cristianismo) é o que se resulta da leitura do livro de Gênesis, aquela história poética e cheia de imagens para elucidar facilmente a origem da criação. Lá se estabelece a ideia de um deus criador-trabalhador: “No princípio Deus criou o céu e a terra [...] No sétimo dia Deus já havia concluído a obra que realizara, e nesse dia descansou [...] de toda a obra que realizara na criação”.(7) Esse Deus como primeira causa (São Tomás de Aquino (1225-1274)) denota laboriosidade seu correspondente descanso, um binômio que será fundamental para compreender a evolução do direito do trabalho e do direito ao descanso semanal contemporâneo. Digamos, em segundo lugar, que o Senhor Deus providenciou o trabalho no Éden: “O Senhor Deus colocou o homem no jardim do Éden para cuidar dele e cultivá-lo”.(8) Portanto, não é certa a ideia de que o trabalho é o resultado do pecado: ao contrário, é um trabalho árduo aquele que deriva do pecado segundo a tradição hebraico-cristã. Antes, na ausência do pecado, havia uma espécie de bom trabalho. Foi o pecado original, que levou Deus a condenar Adão e Eva, e por isso a toda a humanidade, a “ganhar o pão com o suor da sua testa”. “Por isso o Senhor Deus o mandou embora do jardim do Éden para cultivar o solo do qual fora tirado”. (9) O Talmude diz: “Se o homem não encontra seu alimento como animais e pássaros, precisa ganhá-los, isso se deve ao pecado”. Essa sentença, de caráter histórico, promove a ideia de trabalho como meio para expiar o pecado original, mas também como meio para produzir; isto é, legitimando a mudança inerente a todo trabalho e, portanto, legitimando também aquela vontade transformadora que caracterizou desde sempre os povos hebreus.(10) Agora, ao contrário dos caldeus, para os hebreus da antiguidade, o trabalho nunca teve um fim ético em si mesmo, mas foi constituído apenas como um meio. Essa visão esteve sempre presente, e caracteriza muito claramente a concepção que muitos integrantes de nossas sociedades contemporâneas possuem sobre o trabalho, além da religião de cada um. -/- 4. OS ROMANOS E O TRABALHO -/- Os romanos, por sua vez, deram uma importante contribuição para o desenvolvimento do conceito de trabalho. Se bem que, a grosso modo, não houvesse grandes diferenças com o pensamento dos gregos, com quem eles tinham em comum, além disso, uma maior divisão do trabalho fruto do desenvolvimento econômico e o uso massivo de mão de obra escrava(11); a maior contribuição do ponto de vista de sua originalidade histórica estava presente na tradição jurídica que inauguraria o Império Romano. O maior impacto por meios jurídicos e não filosóficos é explicado pelo fato de que os romanos, ao contrário dos gregos, não conseguiram “inspirar” a produção de grandes pensadores sociais. Com efeito, para os romanos, como o escravo não era considerado uma pessoa, o viam-no desprovido de personalidade jurídica. Isso conduziu a negação da relação de trabalho entre a pessoa encarregada de um trabalho manual (escravo) e seu dono. Tal relação correspondia, acima de tudo, ao direito de propriedade que os juristas romanos haviam garantido quase sem limites para seus cidadãos. O problema, como aponta Hopenhayn, surgiu quando o proprietário não ocupa seu escravo, mas aluga-o para terceiros. Surge assim a figura do arrendamento de serviços, que deriva do arrendamento das coisas. Porém, como na realidade o que se alugava era a força de trabalho, a qualidade jurídica desloca-se para a atividade realizada pelo escravo. Dessa forma, a atividade do trabalhador, primeiro do escravo, posteriormente do homem livre, começa a ser tratada como uma coisa, e se converte em antecedente do arrendamento de serviços do Direito Civil moderno. Ademais, na tradição romana, o trabalho manual estava desprestigiado. Cícero (106-43 a.C.) em De Officiis, estabeleceu com fria claridade “ipsa merces est auctoramentum servitius”(12) (todo trabalho assalariado é trabalho escravo). A vida era difícil para esses trabalhadores: nos territórios sob domínio romano, Augusto (63-14 a.C.) tinha imposto um tributo à todos os homens que exerciam algum tipo de trabalho manual, além do imposto à residência, às valas e outros mais particulares como o imposto para a detenção de porcos. Certamente, aqueles que levaram a pior parte no tempo da Roma Imperial foram os escravos (servi) sob domínio e propriedade de seus donos (domini). Me seus tempos de auge, a demanda de escravos em Roma era de 500.000 ao ano. Se compararmos com os 60.000 escravos negros trazidos a América nos anos de maior tráfico, teremos uma ideia mais ou menos exata da magnitude desse triste fenômeno. -/- 5. O CRISTIANISMO E O TRABALHO -/- As mensagens do cristianismo primitivo, são inseridas logo, nesse tempo histórico, onde Roma se tornava o centro das maiores mobilizações de rebeldia da antiguidade. Isaías, nesse sentido, proclamaria que o Messias viria: “[...] a pregar boas novas aos abatidos, a vendar aos quebrantados de coração, a publicar liberdade aos cativos, e aos presos a abertura do cárcere”.(13) Jesus, efetivamente, incluiu em sua missão, mensagens de libertação aos pobres e oprimidos. Porém, ao contrário do supracitado, como bem sinala Eric Roll (1907-2005), dos antigos profetas hebreus, não o faria saudando as comunidades tribais com seu espírito de grupo; mas animado por uma mensagem mais universal e permanente, proclamando uma mudança mais completa e integral na conduta do homem em sociedade, onde os valores de justiça e amor se colocariam em um primeiro plano. Evidentemente, a mensagem do cristianismo primitivo, e mais concretamente de Cristo, distava muito dos filósofos gregos. Deixemos que Roll explique: Temos visto que as doutrinas econômicas de Platão e, em certa medida, de Aristóteles, nasciam da aversão aristocrática ao desenvolvimento do comercialismo e da democracia. Seus ataques contra os males que acarreta o afã de acumular as riquezas são reacionárias: olham para trás, e o de Cristo olha para frente, pois exige uma mudança total, mas relações humanas. Aqueles sonhavam com um estado ideal destinado a proporcionar a “boa vida” para os cidadãos livres unicamente e cujas fronteiras eram as da cidade-estado daquele tempo; Cristo pretendeu falar por todos e para todos os homens. Platão e Aristóteles haviam justificado a escravidão; os ensinamentos de Cristo sobre a fraternidade entre todos os homens e o amor universal eram incompatíveis com a ideia da escravidão, apesar das opiniões expostas depois por São Tomás de Aquino. Os filósofos gregos, interessados somente pelos cidadãos, sustentaram opiniões muito rígidas sobre a diferente dignidade das classes de trabalho, e consideravam as ocupações servis, com exceção da agricultura, como próprias apenas para os escravos. Cristo, ao dirigir-se aos trabalhadores de seu tempo, proclamou pela primeira vez a dignidade de todas as classes de trabalho, assim materiais como espirituais (1942. p. 42 – Tradução própria). Não pode escapar desse estudo, o fato de que o próprio Jesus Cristo herdou o ofício de carpinteiro de seu “Pai” José; e que escolheu seus discípulos entre os pescadores e artesãos da região. Essa visão primitiva do cristianismo, no entanto, deve ser analisada no quadro das escrituras sagradas do Antigo Testamento que compartilha com a cultura (e obviamente a religião) hebraica. Nesse sentido, o trabalho não deixa de ser um meio, descartando-se como um fim em si mesmo. Mas, agora atribuindo-lhe um novo valor, sempre em tento um meio para um fim virtuoso: o trabalho será fundamental para permitir a satisfação das necessidades de cada um, mas também seus frutos, deverão ser inseridos em uma dimensão comunitária, onde o “próximo” necessitado esperará a contribuição fraterna e solidária do cristão. O trabalho, nessa perspectiva, não só possibilita o “tomar”, mas também o “dar”. Em relação a dupla perspectiva, é onde podemos entender a crítica do cristianismo a acumulação da riqueza. Como aponta o evangelista Mateus, “acumular o tesouro no céu, onde nem a traça nem a ferrugem os consomem, e onde os ladrões não perfuram nem roubam. Onde está o seu tesouro está seu coração”. (14) Com São Paulo se incorpora um novo componente valioso: a obrigatoriedade moral do trabalho. Em sua carta aos Tessalonicenses dita claramente “ao que não trabalha que não coma”. Diz São Paulo: Vocês sabem em que forma têm que nos imitar: nós trabalhamos enquanto estivemos entre vocês, não pedimos a ninguém um pão que não teríamos ganhado, senão que, de noite e dia, trabalhamos duramente até nos cansarmos, para não ser carga para nenhum de vocês [...] Além disso, quando estávamos com vocês lhes demos está regra: se alguém não quiser trabalhar, não coma. Mas agora ouvimos que há entre vocês alguns que vivem sem nenhuma disciplina e não fazem nada, muito ocupados em meter-se em tudo. A estes lhes mandamos e lhes rogamos, por Cristo Jesus, nosso Senhor, que trabalhem tranquilos para ganhar a vida (II Tes. 3:10). Essa frase, entendida somente no contexto de uma sociedade donde não existia um conceito de desemprego tal como entendemos atualmente, é curiosamente reproduzida pelo modelo soviético em pleno século XX. Com efeito, a Constituição da União Soviética estabeleceu em seu Artigo 12: “O trabalho é, na Rússia, uma questão de dever e de honra para todo cidadão fisicamente capaz. Essa obrigação é baseada no princípio: “quem não trabalha não come”. (15)(16) Para São Paulo, o trabalho deve ser o meio para ganhar a vida. Ele quis ser exemplo e enquanto pregava continuava trabalhando, presumivelmente como tecelão de tendas. A obrigatoriedade moral se aplica na medida em que a pessoa está em condições de o fazer. Para os incapacitados a fazê-lo (idosos, crianças, deficientes, doentes, acidentados etc.) existia a obrigatoriedade do socorro segundo a máxima do amor (ágape) ao próximo. Essas sentenças morais têm hoje em dia uma importante quota de explicação para com as contemporâneas políticas sociais. -/- 6. O TRABALHO NA IDADE MÉDIA -/- A Idade Média, período que ocupa desde o crepúsculo do Império Romano do Ocidente no século V pelos bárbaros, até o século XV, com a queda de Constantinopla, evidentemente mostra um conjunto importante de escolas e pensadores que marcaram pautas importantes para discernir o valor do trabalho nas diferentes culturas. A organização econômica mais visível nestes mil anos, onde operou o trabalho, consistia em extensões grandes de latifúndios errados do Império Romano (o sistema econômico denominado feudalismo), onde (mediante a falta de escravos) recorreu-se à mão de obra camponesa para o trabalho. O sistema, implicava o arrendamento de parte dessas terras a ex-escravos ou homens livres, em troca de uma renda em dinheiro e espécies, além do cultivo das próprias terras senhoriais. Por certo, a figura do servo não distava muito da do escravo se tivermos em conta as condições de funcionamento do contrato de trabalho. O comércio também teve seu lugar no sistema feudal, o mesmo adquiriu grande importância em certas regiões ou lugares, à exemplo de Constantinopla. A atividade econômica seguia seu rumo na história, e depois dos séculos IX e X, o crescimento das forças produtivas deu lugar a uma maior acumulação por parte de componentes e artesãos e, por certo, a uma maior apropriação de excedentes por parte do Senhor feudal. Essa situação foi ativante para a construção dos primeiros Burgos ou cidades, onde o comércio e a indústria artesanal teriam um marco mais adequado para o seu desenvolvimento. Essa é a etapa do nascimento dos primeiros grêmios corporativos (17). Então para o século XII, a estrutura feudal começa a desmoronar porque a produção de determinados bens começa a ser mais eficiente em cidades e não no feudo. O dinheiro, então, passou a ganhar maior peso que a terra, o que obriga os senhores feudais a aumentar seus rendimentos. Isso leva a um empobrecimento lógico dos camponeses, o que não dura muito, porque na primeira metade do século XIV, a maior parte dos servos alcança sua liberdade. Por sua vez, nessa apertada síntese da história econômica da Idade Média, devemos assinalar que pelo século XIV, e depois das Cruzadas e o posterior desenvolvimento do comércio internacional entre os impérios arábico e bizantino, inaugura-se uma etapa pré-capitalista que durará três séculos. É lá que se levanta mais energética a voz de alguns homens da Igreja contra a tendência à exaltação da riqueza já começava a avivar-se na Europa. São Tomás de Aquino, nesse sentido, não considerará ao comércio pré-capitalista bom ou natural. No entanto, ele o julgava inevitável uma vez que era o meio ao qual o comerciante tinha que manter a sua família. Dessa forma, os lucros do comércio não era outra coisa senão o fruto do trabalho. Se tratava, então, de colocar o acento na justiça da mudança efetuada, para o qual Aquino recorre a Aristóteles, cuja análise sobre o valor de mudança é figurado no seu estudo da Justiça. Muitos padres da Igreja, desde então, pretenderam formular um conceito de “preço justo”. Nesse sentido, o Cristianismo apresenta uma evolução do seu pensamento sobre o comércio que partia de uma visão absolutamente contrária ao começo da Idade Média (Santo Agostinho (354-430), São Jerônimo (347-420) etc.), a outra mais transacionável, que acompanhou, sobretudo, o pensamento de Aquino. Algo similar ocorreu com outro dos “preceitos” da Igreja em matéria econômica: a usura. Esta era considerada pela igreja como a melhor forma de obter lucro. O mesmo evangelista Lucas (século I d.C.) foi categórico ao rejeitar essa linha de operações. A lei hebraica também fez isso, e podemos encontrar no livro do Êxodo (22,25) tal proibição a respeito. Mais atrás no tempo, há antecedentes de condenação à usura entre os hindus (Rigveda, cerca de 1500 a.C.) e budistas (século VI d.C.), além do Islã mais próximo do nosso tempo (século VI d.C.). Ao princípio da Idade Média, como testemunha Roll, a proibição somente alcançava a Igreja, já que o escasso desenvolvimento mercantil não merecia outra coisa. No final da Idade Média, no entanto, que a situação é outra; e a prática secular foi orientada no sentido de promover o empréstimo de dinheiro cobrando por isso um juro. Alarmada ante esses fatos, a Igreja condena mais uma vez a usura no Terceiro Concílio de Latrão de 1179. No mesmo escreveu e ensinou São Tomé (século I d.C.) e outros discípulos da Igreja. No entanto, as práticas econômicas foram minando a autoridade eclesial e está terminou, através de sucessivas etapas, por aceitar, em certas condições e sob certas circunstâncias, a cobrança de juros sobre a concessão de um empréstimo. Em tal sentido, um dos autores mais representativos só início da Idade Média foi Santo Agostinho. Foi este um dos pilares, em seu tempo, das noções “anticapitalistas” que foram seguidas e complementadas por homens do tamanho de São João (347-407), São Ambrósio (340-397), São Clemente (150-215), São Cipriano (200-258) entre outros. (18) Santo Agostinho valoriza o trabalho recordando em tal sentido a São Paulo, a que cita com muita frequência em seus textos. Segundo o Bispo de Hipona, todo trabalho manual é bom pelas razões dadas pelo cristianismo primitivo. Concilia, além disso, seu dualismo platônico, ao sustentar que enquanto o homem trabalha tem a alma livre, de modo que é perfeitamente compatível pensar em Deus ao mesmo tempo em que se trabalha. Essa particular sintonia entre o trabalho e a oração foi perfeitamente posta a prova pelos monges beneditinos, cujo lema “Ora Et Labora” (orar e trabalhar) é paradigmático. “Trabalha e não desesperes” dizia seu fundador, São Bento de Núrsia (480-547), de seus monastérios distribuídos em um primeiro momento a Subiaco, no início do século VI. Também corresponde a São Bento uma sentença que perdura até o dia de hoje no imaginário moral sobre o trabalho: “Otiositas inimica est animae” (a ociosidade é inimiga da alma), tal qual diz uma expressão popular castelhana: “el ocio es la madre de todos los vicios” (o ócio é a mãe de todos os vícios). Tomás de Aquino, alguns séculos depois, continua a reflexão sobre o trabalho e estabelece uma hierarquia de profissões, onde localiza o trabalho agrícola e artesanal acima do comercial. Uma quota de originalidade na história do pensamento sobre o trabalho consistiu em considerá-lo como uma obrigação somente se necessário para subsistir; ou dito de outra maneira: quem não tem necessidade de trabalhar não tem que fazê-lo. Isso sim, à falta de trabalho, devia dedicar-se à oração e contemplação divina, atividades por certo mais elevadas para o autor da Suma Teológica. Logo, considerará que Deus é a causa primária, a que tudo deve a sua existência; por derivação, o homem é causa segunda, procurando atreves do trabalho “criar” em suas dimensões humanas. “Entre todas as formas com que a criatura humana tenta realizar a semelhança divina, não há outra de relevo mais destacado que a de trabalhar, isto é, ser em o mundo causa novos efeitos”, disse o Santo. (19) Aquino, além disso, utilizando categorias platônicas, hierarquiza o trabalho, considerando o intelectual acima do manual. Chama “artes servis” a estes últimos, enquanto que o trabalho intelectual corresponde ao conjunto das “artes liberais”, dignas de maior remuneração ao fazer uso da inteligência. Esta distinção própria da Escolástica, dá lugar à divisão clássica entre as 7 artes liberais: o Trívium (gramática, retórica e dialética) e quadrivium (astronomia, geometria, aritmética e música). Outras contribuições de São Aquino têm a ver com sua posição diante do trabalho agrícola ao qual o considera como o melhor meio para assegurar a subsistência de um povo; a maior importância dada à vida contemplativa sobre a ativa, embora considerando a primeira como “laboriosa”; sua posição sobre a escravidão, que não considerava como natural, no entanto, entendê-la “útil”(20); e sua interpretação sobre o contrato de trabalho: neste, o operário não vende a si mesmo, nem seu corpo, nem sua inteligência, nem sequer sua faculdade de trabalho. Isso significa que o Direito Natural proíbe considerar o trabalho como um objeto de mudança. Propõe, em vez disso, considerar o contrato como um arrendamento de serviço. Em termos gerais, a valorização que sobre o trabalho se realiza na Idade Média, rebaixando ao trabalho manual em relação a outras tarefas, fica explícita na divisão tripartida que recorre, entre outros, Adalberão Bispo de Laon (947-1030): “Triplex Dei ergo domus est quae Creditor uma nunca oran, alii pugnat, Aliique laborant” (ternária é a casa do Senhor e não uma: aqui sobre a terra uns oram, outros lutam e outros trabalham). Não gostaria de deixar passar por alto, finalmente, entre os movimentos originados na Idade Média, a contribuição que sobre o tema do trabalho teve a ordem franciscana. Essa, contra o que muitos podem crer, é uma ordem não mendicante no sentido estrito, mas sim trabalhadora e de pobreza. São Francisco de Assis (1181/82-1226), no final do século XII, marcaria como ninguém dentro do cristianismo, uma vida ascética baseada no trabalho e na pobreza. Inclui, além disso, um elemento pela primeira vez descoberto na cultura europeia: o sentido da alegria que acompanha o trabalho. “Essa condição de 'suor de sua testa' com 'a alegria de seu coração' outorga ao trabalho uma condição diferenciada”. Avançando então na história da humanidade, entramos na época moderna, caracterizada por cinco grandes eventos: -/- 1. A decadência do poder moral da Igreja e o enfraquecimento de seu poder econômico frente ao da crescente burguesia; -/- 2. O renascimento intelectual e artístico; -/- 3. As viagens paras as índias e a descoberta da América; -/- 4. A formação e a constituição dos Estados-nação; -/- 5. As reformas religiosas de Lutero (1483-1546) e Calvino (1509-1564). -/- Nesse contexto, os séculos XV e XVI mostraram como o mercantilismo ia avançando apesar dos esforços de alguns pensadores da Igreja que eventualmente perderam o pulso diante do desenrolar dos acontecimentos. Sucessivas encíclicas papais terminaram por legitimar o interesse nos empréstimos e, por meio desta, levou-se a maior acumulação de riquezas por parte dos banqueiros. Esse foi o meio ideal para o desenvolvimento da atividade do mercador, para quem, o trabalho passou a ser considerado um meio para obter sucesso. Ao dinamizar-se a atividade econômica e mercantil, a visão humanista do trabalho começa a perder valor, realçando-se ao mesmo como um simples meio para fins de enriquecimento. Talvez a exceção a essa noção estendida entre os novos atores tenha sido a proporcionada pelo humanismo renascentista. Para Campanella (1568-1639), por exemplo, sua “Cidade solar”, não existe o divórcio entre trabalho manual e intelectual, isso quando o segundo começa a ser supervalorizado por sua ação no plano das invenções e das novas técnicas.(22) Na mesma linha se situa Thomas More (1478-1535), o autor de “Utopia”, outra reação do cristianismo às projeções que estava adquirindo o cada vez mais influente mercantilismo. Embora o trabalho não seja considerado como um mau, pelo contrário, apresenta características humanizadoras, é sugestivo comprovar como em Utopia a jornada do trabalho não supera as seis horas diárias e na Cidade solar não se devia trabalhar mais que quatro horas. Indubitavelmente, essas versões de sociedades ideais terminariam por impactar sobre maneira a constituição das Missões Jesuítas na América do Sul; e as Franciscanas na Baixa Califórnia. É o Renascimento, o lugar propício, além disso, para renovar o conceito da virtuosidade, agora traduzida na figura do empresário ou financista audacioso e empreendedor. Essa linha foi reforçada logo por Calvino, para quem os negócios são um bom serviço a Deus, e a riqueza não é mais que um fruto de uma vida dedicada ao trabalho desde uma perspectiva ética que analisarei com Weber mais tarde, mas que confere ao trabalho a particularidade de ser um caminho para o sucesso. Esse puritanismo impulsionou sobremaneira a versão do “homo economicus” que mais tarde, em pleno auge do capitalismo pós-industrial, ao qual, segundo Daniel Bell (1919-2011), fora substituído pelos valores hedonistas. -/- REFERENCIAL TEÓRICO AGOSTINHO. Cidade de Deus: contra os pagãos. Trad. O. P. Leme. 2ª ed. Bragança Paulista: Editora Universitária, 2008. (Col. Pensamento humano). _____________. O livre-arbítrio. Trad. N. A. Oliveira. 1ª ed. São Paulo: Paulus, 1995. AQUINO, T. de. Suma Teológica. 2ª ed. 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Humans are weird creatures. They like life and fear death, even though they know nothing for both. And even though our ignorance for life seems insignificant since we manage to live without knowing what life is, our ignorance of death seems more important since it seems to trouble the depths of our self. But like the fifth axiom of Euclid, the belief in death is nothing more than an arbitrary belief based on things we consider obvious even though no knowledge (...) is. A series of philosophical opinions dating back aeons have laid the foundation of an idea that initially did not even exist: That our existence can end like an evening breeze. The goal of this paper is to list all those philosophical dogmas that have made Humans believe that death exists. And by making this list a memory might resurface from something we used to feel: There is more to life than being…. (shrink)

Recently, a problem is addressed while dealing the data with Non-Euclidean Geometry and its characterization. The mathematician found negation of fifth postulates of Euclidean geometry easily and called as Non-Euclidean geometry. However Riemannian provided negation of second postulates also which still considered as Non-Euclidean. In this case the problem arises what will happen in case negation of other Euclid Postulates exists. Same time total total or partial negation of Euclid postulates fails as hybrid Geometry. It become more crucial in case (...) the data is unknown, incomplete or exists beyond the three-way space as heteroclinic pattern. To understand this problem, the current paper tried to distinguish Euclidean, Non-Euclidean, Anti-Geometry, Neutrogeometry and Turiyam or Unknown geometry using the complement operator with an example. (shrink)

The age of human civilization is given the name “the bend” based on a re-examination of the emergence of science, science theory content, and history. It is proposed that social and scientific conceptualizations of nature, reflected from perplexity involving mind matter paradox, logic and illogic, surface to be not only self defining but diverging from the course of whole nature as a result of freely applied will. Both reflexively and thoughtfully reflected assessments of the natural elements containing false notions of (...) proximity are responsible for human psychical impulse in response to naturally occurred, though abnormally caused impulse to cause suffering, resulting in the application of physical impulse to the environment. In order to expose this situation, the contents of Einsteins’ theory of relativity and Euclids’ Parallel Postulate are discussed in a perspective in which all point of reference is argued to contain specific physical attachments to emerged courses of history. A physical and conceptual (reflecting paradox of matter and mind, respectively) bend is proposed to have emerged on all levels from a unique and chronic (with respect to the age of civilization) physical problem that is conjectured to be of the same nature –i.e. a physical bend. The course of the earth civilization and nature (proposed to possess the natural feature of ‘bend’ innately) are theorized to diverge from one another as a result of freely transmittted impulse by civilization, over its’ course,originating from a natural physical disturbance. (shrink)

A computational methodology called Grossone Infinity Computing introduced with the intention to allow one to work with infinities and infinitesimals numerically has been applied recently to a number of problems in numerical mathematics (optimization, numerical differentiation, numerical algorithms for solving ODEs, etc.). The possibility to use a specially developed computational device called the Infinity Computer (patented in USA and EU) for working with infinite and infinitesimal numbers numerically gives an additional advantage to this approach in comparison with traditional methodologies studying (...) infinities and infinitesimals only symbolically. The grossone methodology uses the Euclid’s Common Notion no. 5 ‘The whole is greater than the part’ and applies it to finite, infinite, and infinitesimal quantities and to finite and infinite sets and processes. It does not contradict Cantor’s and non-standard analysis views on infinity and can be considered as an applied development of their ideas. In this paper we consider infinite series and a particular attention is dedicated to divergent series with alternate signs. The Riemann series theorem states that conditionally convergent series can be rearranged in such a way that they either diverge or converge to an arbitrary real number. It is shown here that Riemann’s result is a consequence of the fact that symbol ∞ used traditionally does not allow us to express quantitatively the number of addends in the series, in other words, it just shows that the number of summands is infinite and does not allows us to count them. The usage of the grossone methodology allows us to see that (as it happens in the case where the number of addends is finite) rearrangements do not change the result for any sum with a fixed infinite number of summands. There are considered some traditional summation techniques such as Ramanujan summation producing results where to divergent series containing infinitely many positive integers negative results are assigned. It is shown that the careful counting of the number of addends in infinite series allows us to avoid this kind of results if grossone-based numerals are used. (shrink)

A work on the philosophy of mathematics (2017) -/- ‘Number’, such a simple idea, and yet it fascinated and absorbed the greatest proportion of human geniuses over centuries, not to mention the likes of Pythagoras, Euclid, Newton, Leibniz, Descartes and countless maths giants like Euler, Gauss and Hilbert, etc.. Einstein thought of pure maths as the poetry of logical ideas, the exactitude of which, although independent of experience, strangely seems to benefit the study of the objects of reality. And, interestingly (...) as well as surprisingly we are nowhere near any clear understandings of numbers despite discoveries of many productive usages of numbers. This is - rightly or wrongly - a humble attempt to approach the subject from an angle hitherto unthought-of. (shrink)

‎A universal schema for diagonalization was popularized by N. S‎. ‎Yanofsky (2003)‎, ‎based on a pioneering work of F.W‎. ‎Lawvere (1969)‎, ‎in which the existence of a (diagonolized-out and contradictory) object implies the existence of a fixed-point for a certain function‎. ‎It was shown that many self-referential paradoxes and diagonally proved theorems can fit in that schema‎. ‎Here‎, ‎we fit more theorems in the universal‎ ‎schema of diagonalization‎, ‎such as Euclid's proof for the infinitude of the primes and new proofs (...) of G. Boolos (1997) for Cantor's theorem on the non-equinumerosity of a set with its powerset‎. ‎Then‎, ‎in Linear Temporal Logic‎, ‎we show the non-existence of a fixed-point in this logic whose proof resembles the argument of Yablo's paradox (1985‎, ‎1993)‎. ‎Thus‎, ‎Yablo's paradox turns for the first time into a genuine mathematico-logical theorem in the framework of Linear Temporal Logic‎. ‎Again the diagonal schema of the paper is used in this proof; and it is also shown that G. Priest's inclosure schema (1997) can fit in our universal diagonal / fixed-point schema‎. ‎We also show the existence of dominating (Ackermann-like) functions (which dominate a given countable set of functions‎, ‎such as primitive recursive functions) in the schema. (shrink)

In this paper, we will make explicit the relationship that exists between geometric objects and geometric figures in planar Euclidean geometry. That will enable us to determine basic features regarding the role of geometric figures and diagrams when used in the context of pure and applied planar Euclidean geometry, arising due to this relationship. By taking into account pure geometry, as developed in Euclid’s Elements, and practical geometry, we will establish a relation between geometric objects and figures. Geometric objects are (...) defined in terms of idealizations of the corresponding figures of practical geometry. We name the relationship between them as a relation of idealization. This relation, existing between objects and figures, is what enables figures to have a role in pure and applied geometry. That is, we can use a figure or diagram as a representation of geometric objects or composite geometric objects because the relation of idealization corresponds to a resemblance-like relationship between objects and figures. Moving beyond pure geometry, we will defend that there are two other ‘layers’ of representation at play in applied geometry. To show that, we will consider Euclid’s Optics. (shrink)

The production of sound by the machinery of change is a viral element in the problems of civilization. Conceptual historical paradox involving mind and matter as the recurring source of the problems of civilization is elaborated to expose a space reducing friction residing at the border of conceptual and empirical interpretation involving cause and effect rather than physical form. A visually based mathematical-physical form, is elaborated and discussion, based on a philosophy of motion, volume and processes that is indivisible, unmoved (...) by the willed power of the discourse, is evolved in an analogy to interpreted ancient mathematics of Euclid. (shrink)